Alkisah hiduplah tiga orang sahabat: Tono, Tami dan Tuti. Ketiga sahabat itu sangat menggemari Brownies (kue brownies loh, bukan “brwondong manies” ). Nah, suatu hari karena sudah lama sejak terakhir kali makan brownies, mereka memutuskan untuk pergi membeli kue brownies yang besar untuk dibagi tiga. Maka pergilah mereka ke toko kue brownies yang sangat terkenal di kota mereka.

Tono : Mbak, brownies yang gede itu berapa?
Penjaga : 30 ribu, Mas.
Tami : Kalau gitu harga browniesnya kita bisa bagi tiga. Jadi masing-masing kita bayar sepuluh ribu.

Setelah mereka selesai membayar, datanglah pemilik toko. (SFX: suara pintu terbuka. Berat.)

Pemilik : Adik-adik, kebetulan hari ini toko kita ulang tahun, jadi hari ini ada diskon. Browniesnya dijual 25 ribu rupiah saja!
Penjaga : Wah… maaf sudah terlanjur bayar 30 ribu, sini saya kembalikan lima ribu.
Tuti : Lima ribu susah ngebaginya, kan kami bertiga… Gini deh, Mbak kasih tiga ribu aja ke kita, biar tiap orang dapat kembalian seribu. Sisanya dua ribu buat Mbak aja.
Penjaga : Wah, makasih ya kalau gitu… (dalam hati: kenapa ga beli 1 lagi aja? Ga punya duit ya?! Dasar pelit!)

Setelah kenyang makan brownies kesukaan mereka, Tono tiba-tiba menyelutuk.

Tono : Perasaan ada yang aneh deh pas kita ngebayar brownies tadi.
Tami : Apa yang salah Ton? Kamu kasih uang pake tangan kiri ya? (SFX: orang tertawa renyah)
Tono : Kita kan masing-masing jadinya bayar 9 ribu. Terus duit kita kan di Mbak penjaga ada 2 ribu. Kalo dijumlah total bayaran kita jadinya 27 ribu tambah 2 ribu jadinya kok cuma 29 ribu. Lha seribunya lagi ke mana???
Tuti : Iya ya… Kok aneh ya?

Ada yang tahu jawabannya nggak?

(Acara diakhiri dengan lagu dari Sindentosca, “Kepompong”)

OOT, catatan Admin: Kayaknya yang nulis lagi ngidam Brownies di “kota mereka”

Semua perkalian dengan angka 9, bila angka-angka hasil perkaliannya dijumlah pasti menghasilkan angka 9, percaya?

Mari kita lihat yang berikut ini.

213 x 9 = 1917

Sekarang kita jumlahkan

1 + 9 + 1 + 7 = 18
1 + 8 = 9

Hore! Berhasil!

Apakah ini kebenaran? atau kebetulan?
Kita coba saja dengan tabel perkalian:

9 x 0 jangan dianggap ya… hehe..

Hmmm, kalau semua bilangan yang dikalikan sembilan atau kelipatan sembilan, angka-angkanya bila dijumlahkan pasti sembilan. Berarti berlaku kebalikkannya dong, semua bilangan yang angka-angkanya dijumlahkan sama dengan sembilan berarti pasti habis dibagi sembilan, hohohoho!

» Bagaimanakah mengalikan perkalian 2 digit atau lebih dengan angka 9?

Contoh: 213 x 9 = ?

Menurut cara konvensional:

Bagaimana kalau kita modifikasi sehingga menjadi lebih sederhana dan cepat?

Begini caranya:

Pertama, kalikan dengan 10:
213 x 10 = 2130
cuma tambah angka 0 di belakangnya, mudah bukan?

kemudian kurangi dengan angka itu sendiri:
2130 – 213 = 1917

Hore! Benar!

Rumusan di atas sebenarnya datang dari:

A x 10 – A = A x (10 – 1) = A x 9

» Yulius’s Method (biar keren kayak orangnya )
Masih tentang perkalian angka 9. Begini caranya:

Angka bisa dibagi menjadi 2 bagian, Front dan Tail. Kita ambil contoh angka 213 tadi:

Tail adalah angka satuan (pada kasus ini adalah angka 3), dan sisanya adalah Front (21).

Aturannya:

• Tail Kalikan dengan 9, kemudian ambil Tailnya (angka satuannya):
  • 3 x 9 = 27 → ambil angka 7
• Sedangkan angka Front tambahkan dengan 1:
  • 21 + 1 = 22
• Kemudian bilangan yang dikalikan tersebut kurangkan dengan bilangan front (yang sebelumnya sudah +1):
  • 213 – 22 = 191
• Gabungkan hasil Front dan Tail, maka akan didapatkan angka 1917

Biar lebih menarik kita buat perkalian susunnya:

• Pertama bagi antara Tail dan Front, yaitu 21 dan 3.
• Tulis ulang angka tersebut di bilik kiri
• Tambahkan dengan 1 Front Numbernya, dan tuliskan dibawah bilangan yang dikali 9
• Kemudian kurangkan bilang tersebut dengan bilangan Front + 1
• Kalikan bilangan 3 dengan 9 ambil angka satuannya ( 7) , tulis di bilik kanan
• Gabungkan itulah hasil perkalian 213 dengan 9 dan… voila!!! 1917

Tapi ada yang salah dari metode ini. Apakah itu?
Tail tidak boleh sama dengan nol, apa bila Tail sama dengan nol, turunkan langsung angka nol tersebut dan ambil Tail angka kedua dari belakang

Misal,

2130 = 213 x 10,

maka yang kita ambil sebagai Tail bukanlah 0 melainkan angka berikutnya yaitu 3, kemudian hasilnya tinggal kita tambahkan 0 di paling akhir atau dengan kata lain kita kalikan dengan sepuluh

Selamat mencoba!

Berapa laju rata-rata perjalanan PP tersebut?

Dengan sangat percaya diri, mungkin kita langsung menjawab, (15 + 30)/2 = 22,5 km/jam.
Benarkah jawaban tersebut?

Mari kita telaah lagi…
Percayalah pada kami, jawaban itu salah! Banyak di antara kita yang menjawab demikian karena menganggap tiap komponen laju memiliki “bobot” yang sama terhadap laju rata-rata. Perlu disadari bahwa tidak selamanya komponen penyusun nilai rata-rata semuanya memiliki bobot yang sama. Seperti pertanyaan laju rata-rata ini, dua laju yang berbeda menghasilkan waktu tempuh yang berbeda pula. Laju 80 km/jam memiliki waktu tempuh yang lebih singkat dibanding 40 km/jam (untuk jarak yang sama: gedung fisika vs rektorat). Jawaban yang tepat untuk pertanyaan laju rata-rata ini adalah memandang nilai 40 km/jam memiliki bobot 2 kali lebih besar daripada laju 80 km/jam karena waktu tempuh perjalanannya yang dua kali lebih lama. Dengan demikian, laju rata-rata yang benar adalah:

Kalau kita tidak begitu yakin jawabannya begitu, cobalah tinjau contoh lain yang lebih “merakyat”. Misalkan ada seorang siswa yang mengikuti sepuluh ujian fisika dalam satu semester. Sembilan dari tes yang diikutinya bernilai 100, sedangkan satu tes sisanya bernilai 50. Apakah adil jika nilai rata-rata siswa tersebut adalah (100+50)/2 = 75?
Tentu tidak!

Perhitungan nilai rata-rata yang adil untuk siswa itu adalah dengan terlebih dahulu mengalikan setiap nilai terhadap “bobot”nya masing-masing, yaitu seberapa banyak nilai tersebut diperoleh. Jadi, nilai rata-rata sang siswa adalah

Sekarang kita kembali ke persoalan laju rata-rata. Seorang yang memiliki rasa penasaran tinggi mungkin akan bertanya,

Bagaimana jika salah satu laju itu bukan kelipatan dari yang lainnya?

Sebenarnya mudah saja kalau mau dikembalikan pada definisi laju rata-rata, yakni total jarak per total waktu. Artinya kita cari dulu waktu untuk masing-masing laju, gunakan jarak gedung fisika-rektorat, lalu dibagi dengan waktu totalnya. Mungkin yang jadi masalah adalah kita malas mengukur jarak maupun waktu tempuh tersebut, pokoknya data yang kita punya hanyalah data laju (atau data nilai apapun dalam satu kelompok besaran fisika yang sama).

Ada cara yang lebih efisien untuk menghitung laju rata-rata tersebut. Di sini kita akan menggunakan konsep rata-rata harmonik, yaitu rata-rata dari barisan harmonik. Istilah “harmonik” boleh dianggap berasal dari pola bilangannya: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, dst, dan jika membuat sebuah gitar dengan panjang relatif satu senar dengan senar lainnya seperti itu, maka akan muncul alunan melodi indah nan harmonis. (cuih, ingin muntah, najis deh bahasanya!)

Ok, kita kembali ke laptop. Kesalahpahaman terhadap konsep nilai rata-rata biasanya menyebabkan kebingungan yang amat sangat. Untuk menghindarinya, sekali kita tahu bahwa kita lagi ingin menghitung laju rata-rata (dengan cara rata-rata harmonik), maka kita akan punya rumusan yang sangat menyenangkan dalam perhitungan rata-rata harmonik untuk laju-laju dengan jarak yang sama. Pada soal yang kita bahas di awal, jarak yang ditempuh dengan masing-masing laju adalah sama, yaitu jarak gedung fisika-rektorat.

Jadi apa rumusnya? Coba turunkan sendiri ya Di sini kita berikan langsung hasilnya.
Untuk dua laju a dan b, rumus nilai rata-ratanya adalah

Untuk tiga laju a, b, c,

Untuk empat laju a, b, c, d,

dan seterusnya… polanya sangat jelas.

Terapkan rumusan ini pada soal awal yang kita berikan:

Supaya lebih mantap, kita coba soal lain yang lebih susah,

Suatu hari, sebuah angkutan kota (angkot) melakukan perjalanan PP dari Antapani ke Ciroyom lalu balik lagi Ciroyom ke Antapani dengan laju rata-rata 300 km/jam (gila!). Esok harinya, ada angin yang berhembus dengan laju 50 km/jam dari Antapani ke Ciroyom. Anggap bahwa setting-an supir angkot itu tetap sama, bagaimanakah laju rata-rata untuk perjalanannya hari tsb? Apakah lebih cepat? Lebih lambat? Atau sama saja?

Dengan pikiran selintas tanpa menggunakan rumus rata-rata harmonik, kita mungkin berpikir sama saja. Asumsinya adalah angkot tersebut mendapat “bantuan” angin pada jalur Antapani ke Ciroyom (jadi lajunya 350 km/jam), sedangkan pada jalur Ciroyom ke Antapani mendapat “hambatan” angin (jadi lajunya 250 km/jam). Dengan pola pikir yang keliru seperti di awal tulisan ini, didapatkanlah laju rata-ratanya (350 + 250)/2 = 300 km/jam, sama saja…

Tapi coba terapkan rumus rata-rata harmonik,

ternyata lebih lambat! Dan inilah hasil yang benar…
Pasti bingung

Pagi-pagi sekali si Fulan berangkat ke kampus dengan berjalan kaki, tiba-tiba hujan turun dengan derasnya. Sialnya ia tidak membawa payung. Apa yang harus ia lakukan? Posisinya 50 meter dari tempat berteduh terdekat. Sebagai mahasiswa fisika, si Fulan mulai menghitung untung ruginya. Pernahkah Anda berada pada situasi yang sama?

Faktor apa saja yang mempengaruhi perhitungan? Apakah bentuk dan ukuran tubuh, intensitas air hujan, kecepatan air hujan, sudut jatuhnya air hujan, kecepatan berlari, atau jarak tempuh? Wah… Si Fulan harus berpikir cepat.

Untuk menyederhanakan perhitungan anggap saja si Fulan berbentuk balok (Spongebob Squarepants).
Tingginya adalah h=170 cm, lebar d=40 cm dan tebal w=25 cm. Anggap juga semua tetes air hujan punya kecepatan sama. Kecepatan (terminal) air hujan kira-kira [lihat referensi 1]: v_a = 8 meter/detik dengan arah vertikal. Intensitas air hujan kira-kira [referensi 2]: S = 20 kg/m²/jam (ahli meteorologi menyebutnya 20 mm/jam). Si Fulan berlari dengan kecepatan v_F = 2 meter/detik.

Jadi bagaimana cara menghitungnya? Gerak itu relatif, jelek itu absolut.
Untuk menghitung kecepatan perlu ditentukan acuannya. Kalau acuannya bumi, seperti disebutkan di atas, kecepatan air hujan 8 meter/detik. Kalau acuannya air hujan? Air hujan diam, bumi yang bergerak ke atas, begitu juga dengan si Fulan. Meskipun demikian si Fulan juga bergerak horizontal. Menurut acuan air hujan, si Fulan yang pada diagram di bawah digambarkan sebagai balok, bergerak menempuh garis putus-putus.

Banyaknya air hujan yang mengenai tubuh berbanding lurus dengan volume sapuan, yaitu luas ABEFDCA kali lebar d. Sudut Ө bergantung pada kecepatan berlari, tan Ө = v_a/v_F. Makin cepat si Fulan berlari, makin kecil sudut Ө. Perhatikan bahwa luas ABDC tidak bergantung pada Ө. Artinya volume air hujan yang mengenai bagian depan tubuh, tidak bergantung pada kecepatan berlari. Luas ABDC = h.L.
Massa air hujan yang tersapu m₁ = (S/v_a) d h L = 24 gr, yang kira-kira setara dengan 24 ml.

Luas BEFD= w(L + w/2) v_a / v_F. Di sinilah kecepatan berlari menjadi penting. Variabel lain yang ikut serta adalah panjang lintasan L, tebal badan w, dan tentu saja lebar badan d. Jika L >> w, maka suku ke-2 dapat diabaikan. Massa air hujan yang tersapu m₂ = S / v_a d w (L + w/2)v_a/v_F = 14 gr. Massa total air hujan yang membasahi tubuh adalah m = m₁ + m₂ = 38 gr.

Seandainya si Fulan hanya berjalan dengan kecepatan seperlima kecepatan berlarinya maka m₂ = 70 gr. Artinya ada tambahan 56 gram air hujan.
Si Fulan lalu berteriak dalam hati:

“Eureka!”

Saat si Fulan akhirnya memutuskan untuk berlari, badannya sudah terlanjur basah kuyup.

Bagaimana cara berlari yang paling efisien saat hujan? Dari diagram di atas, jelas bahwa jika balok dimiringkan dengan sudut Ө maka volume sapuan menjadi minimum. Jadi, kapan-kapan kalau kehujanan cobalah sambil berlari, condongkan badan anda ke depan.

Referensi:

1. SIlakan klik di sini, tautan ke situs luar. Singkat, padat, dan jelas.
2. Van Dijk, A.I.J.M., 2002. Water and sediment dynamics in benchterraced agricultural steeplands in West Java, Indonesia. Ph.D Thesis, Vrije Universiteit Amsterdam. Disertasi doktoral yang tebal, sekedar untuk mencari tipikal intensitas air hujan, bacalah jika anda tertarik.
3. Javascript untuk menghitung volume air hujan: klik di sini (tautan ke luar).

Bagi teman-teman semua yang merasa kesulitan memahami (lebih tepatnya menggambarkan) bentuk-bentuk persamaan elips, persamaan kuadrat, grafik fungsi trigonometri, atau sekedar masalah vektor dan resultannya, janganlah khawatir! Sekarang di situs ini telah tersedia perangkat visualisasinya.

Silakan klik tautan di bawah untuk mencoba. Namun perlu diperhatikan, seluruh perangkat visualisasi ini dibuat dalam format swf sehingga membutuhkan perambah web yang menyediakan flash player.

• Visualisasi Elips
• Persamaan Kuadrat
• Fungsi Trigonometri
• Vektor dan Resultannya

Deret tak hingga memiliki banyak sekali aplikasi dalam fisika. Sekarang kita akan coba bermain-main dengan deret tak hingga dari segi matematik.
Secara umum, kita dapat klasifikasikan deret tak hingga berdasarkan sifat hasil penjumlahannya menjadi 2 macam, yaitu

• deret konvergen: hasil penjumlahannya cenderung menuju satu nilai yang berhingga,
• deret divergen: hasil penjumlahannya tidak menuju nilai tertentu.

Penjelasan lebih lanjut tentang sifat deret tak hingga ini sudah sering ditemui di buku kalkulus (kuliah tahun pertama) atau pelajaran SMA kelas 3.

Nah, yang ingin kita bahas sekarang adalah tentang paradoks yang sebenarnya bukan paradoks jika kita paham sifat konvergensi deret yang dimaksud.

Langsung saja, misalkan

Akan tetapi, ketika kita melakukan pengelompokan yang berbeda terhadap anggota (bilangan) dalam deret tersebut, hasilnya adalah

Oleh karena S = 1 dan S (yang sama) = 0, maka 1 = 0. Lho? Kok bisa?

Jika kasus tersebut belum cukup membuat Anda menangis, kita coba saja yang lain.

Misalkan

Sebutlah persamaan ini sebagai pers. A. Di sini jelas sekali bahwa S bernilai positif.
Demikian pula,

bernilai positif, dan sebutlah persamaan ini sebagai pers. B.
Sekarang, jika kita kalikan kedua sisi pers. A dengan angka dua, maka kita peroleh

Sebutlah yang terakhir ini sebagai pers. C.

Perhatikan, ruas kanan pers. B ternyata sama dengan pers. C, sehingga

dan kesimpulannya S = -1.

Sepintas wajar (dan cerdas) bahwa kita bisa memecahkan hasil penjumlahan untuk S yang menurut perhitungan terakhir hasilnya adalah -1. Tapi justru di sini masalahnya. Ingat lagi kita sebelumnya sudah memastikan bahwa S itu harus positif, anehnya kita malah mendapatkan hasil yang negatif.

Tanya kenapa?
Ada yang bisa jawab? (gak ada hadiahnya lho )

Lalat? AADL? Ada Apa dengan Lalat?
Tenang… Di sini kami menggunakan lalat hanya sebagai sebuah model. Apa yang ingin dibahas sebenarnya adalah lagi-lagi tentang salah satu teknik pemecahan masalah fisika yang baik dan benar (cepat dan selamat). Kami harapkan dengan pemberian beberapa “solusi yang mengejutkan” akan bisa memotivasi kita semua untuk belajar fisika lebih baik lagi.

Beberapa masalah fisika ternyata tidak selalu membutuhkan pengerjaan dengan tangan (corat-coret kertas). Banyak diantaranya yang memiliki beragam solusi, termasuk yang lebih cepat meski hanya sekedar nalar di luar kepala (eh, dalam kepala). Tentu pengalaman dan latihan yang cukup akan membuat kita mampu mengenali soal-soal bagaimana yang dapat dipecahkan langsung tanpa perlu hitung corat-coret dulu di kertas, seperti yang akan dibahas kali ini.

Ceritanya, ada dua buah kereta jalur Bandung-Surabaya, yang jarak kedua kota itu adalah 800 km. Satu kereta memulai perjalanan dari Bandung, satunya lagi dari Surabaya. Kedua kereta bergerak pada jalur yang sama, sehingga pada suatu saat keduanya tentu bisa tabrakan. Kereta S (dari Surabaya) bergerak dengan kecepatan konstan 60 km/jam, sedangkan kereta B (dari Bandung) bergerak dengan kecepatan 40 km/jam.

Pada waktu yang sama, seekor lalat memulai perjalanan dari posisi salah satu kereta (terserah yang manapun) dengan kecepatan 80 km/jam ke arah kereta satunya lagi. Oleh karena laju terbang si Lalat itu lebih cepat dari kedua kereta, tentu suatu saat si Lalat bisa lebih dulu menyentuh kereta yang lain. Nah, setiap kali lalat itu menyentuh salah satu kereta, ia akan bergerak ke arah yang berlawanan menuju kereta satunya lagi (dengan laju dipertahankan 80 km/jam), dan begitu seterusnya hingga kedua kereta tabrakan dan si Lalat mati kegencet.

Pertanyaannya: Berapa km jarak yang ditempuh si Lalat sebelum kematiannya?

Secara alami, biasanya kebanyakan dari kita akan mulai menggambar keadaan sesuai soal tersebut. Apa yang dicari adalah jarak masing-masing lintasan yang ditempuh si Lalat sepanjang perjalanan “bolak-balik”nya. Lintasan yang ditempuh lalat makin lama makin pendek seiring gerak bolak-baliknya dari kereta satu ke kereta lain yang juga bergerak satu sama lain. Hubungan sederhana langsung terpikirkan, “kecepatan kali waktu sama dengan jarak lintasan yang ditempuh”. “Oh, tapi kok banyak sekali lintasan yang harus dihitung satu-satu?”
Gawat kalau begini, bisa frustasi harus hitung pake limit segala (karena jumlah lintasan bolak-balik lalat akan ada cukup banyak)…

Hmm… pasti ada cara lain. Kita coba sekarang gunakan analogi yang lebih sederhana (gunakan sudut pandang yang berbeda). Apa yang ingin kita temukan adalah jarak yang ditempuh lalat. Rumusnya sederhana, seperti yang tadi sudah terpikir; tapi sekarang kita harus tahu dulu waktu perjalanan si Lalat hingga menemui ajal. Jika kita bisa hitung waktunya (waktu tempuh total), maka jarak total langsung bisa dihitung karena kita sudah tahu kecepatannya (yang konstan itu, 80 km/jam):
jarak = (kecepatan) . (waktu)

Waktu tempuh si Lalat dapat dihitung dengan mudah karena ia bergerak selama kedua kereta juga bergerak sampai tabrakan. Ini artinya kita hitung saja waktu hingga terjadinya tabrakan! It’s so simple! Untuk menentukan waktu t (hingga tabrakan), kita buat persamaan berikut: Jarak tempuh kereta S adalah 60t dan jarak tempuh kereta B adalah 40t. Total jarak tempuh keduanya adalah jarak Bandung-Surabaya, 800 km, alias 60t + 40t = 800, sehingga t = 8 jam!

Waktu 8 jam itu pula yang dialami si Lalat hingga dia mati kegencet. Berarti, total jarak yang ditempuh Lalat adalah:
jarak = (80 km/jam) . (8 jam) = 640 km.

Ha…ha…
garing, ya?

Banyak di antara kita takut fisika karena rumus-rumusnya yang menyilaukan mata. Tidak bisa dipungkiri lagi bahwa fisika memang identik dengan rumus, bahkan rasanya nyaris tidak mungkin membuat fisika tanpa rumus. Akan tetapi, fisika tetaplah mengasyikkan dan menyenangkan, begitu pula dengan matematikanya.

Melalui tulisan ini kami coba memberikan sebuah contoh masalah yang bisa dijawab sekejap saja. Uniknya, masalah ini bisa juga sampai menghabiskan waktu makan siangmu jika tidak bisa mengorganisasikan rumusan matematika dengan baik. Banyak sekali masalah fisis yang memiliki sifat demikian, sehingga kita perlu terus mengasah kemampuan analisis matematis dan memotivasi diri bahwa fisika dan matematika itu saudara kandung yang selalu saling membantu.

Ok, sudah siap? Ini soalnya:

Langkah pertama yang biasa dilakukan kebanyakan orang untuk menjawab soal tersebut adalah dengan mengeluarkan kalkulator lalu menghitung hasilnya, dan SELESAI!

Wah, tentu tidak seru, bukan? Lebih baik jika kita ambil secarik kertas dan segera meraut pensil untuk corat-coret. Ok, kalau begitu kita coba saja. Biasanya cara yang sering dilakukan lebih dulu adalah menyederhanakan bagian dalam kurung, misalnya menjadi:

Melihat hasil ini kita kemudian segera mencoret beberapa bagian penyebut dan pembilang untuk penyederhanaan lebih lanjut, misalnya dua pecahan yang bagian depan dapat ditulis:

Hmm, sepertinya akan beres cepat, coba kita lihat dua pecahan selanjutnya:

Waduh, sepertinya masih kurang data, coba lihat lagi dua pecahan selanjutnya:

Dengan data-data tersebut, kita bisa susun ulang pertanyaan (soal)nya menjadi:

Halah… polanya memang terlihat, tetapi kita bisa menyimpulkan bahwa kita harus menguraikannya sampai beres hingga pecahan terakhir (224/225). Gawat! Dan akan lebih gawat lagi kalau rantai pecahan pada soalnya diperpanjang:

Keburu botak kepala, deh…

SOLUSI YANG LEBIH BAIK
Satu jalan yang jarang dipikirkan ketika pertama melihat soal tersebut (soal yang awal) adalah dengan terlebih dahulu membuatnya jadi begini:

Lalu uraikan sedikit:

Teruskan sedikittt lagi…

Nah kan, jadinya sederhana:

Akhirnya hanya menyisakan dua pecahan:

EPILOG
Demikianlah saudara-saudara, selain masalah yang setitik nila ini masih melimpah ruah masalah-masalah lain yang solusinya sederhana, hanya membutuhkan organisasi rumus yang baik dan benar.
Jika kita tilik beberapa masalah dalam fisika, seringkali kita pun tidak memikirkan bahwa ketika Newton mengatakan

Gaya yang bekerja pada suatu benda sebanding dengan percepatan yang dihasilkan,

kenapa kok ditulis

?

Kenapa, misalnya, tidak ditulis begini saja:

atau

?

Toh massa m cuma konstanta kesebandingan, kan? (Perhatian, kita abaikan dulu masalah satuannya).

Contoh lain, Einstein bilang

Ada kesetaraan antara massa dan energi relativistik,

kenapa kok ditulis

?

Kenapa, tidak begini:

atau

?

Toh laju cahaya c juga konstanta, kan?

Ternyata (dari sudut matematis) alasannya sederhana, yaitu untuk pengorganisasian yang lebih baik bagi rumusan lain yang diturunkan dari hukum-hukum fisika tersebut.

Ada sebuah soal matematika yang sangat sederhana, begitu pula dengan solusinya. Tetapi apa yang kami temukan di antara teman-teman kami sendiri ternyata banyak juga yang menjawabnya dengan sangat rumit.

Coba deh…

Misalkan ada sebuah turnamen sepakbola antarhimpunan mahasiswa dilakukan dengan sistem gugur (sekali kalah langsung tersingkir). Turnamen itu diikuti oleh 25 tim himpunan mahasiswa se-ITB.
Berapa jumlah total pertandingan dalam turnamen tersebut hingga diperoleh satu juara? (tanpa perebutan tempat ketiga dan keempat)

Biasanya, banyak di antara kita memulai pemecahan masalah dengan cara mensimulasikan turnamen tersebut, salah satunya memasang-masangkan setiap tim untuk bertarung. Dalam kasus ini, ada 1 tim yang mendapat bye (tidak perlu bertanding, langsung lolos ke babak selanjutnya), dan ada 24 tim yang harus bertarung, sehingga jumlah pertandingan babak pertama adalah 12 pertandingan. Kemudian di babak kedua ada 13 tim tersisa yang komposisinya adalah 12 tim harus saling tarung (6 pertandingan), dan 1 tim mendapatkan bye. Sampai sini jumlah pertandingannya sudah 18 (= 12 + 6).

Di babak ketiga ada 7 tim tersisa dengan komposisi 6 tim harus saling tarung (3 pertandingan), dan 1 tim mendapatkan bye, sehingga jumlah pertandingan menjadi 21 (= 18 + 3). Sampai sini sudah tersisa 4 tim saja (semifinal), yang kita tahu hanya ada 2 pertandingan, sehingga jumlah pertandingan hingga babak semifinal adalah 23. Terakhir, 1 pertandingan babak final menggenapkan jumlah pertandingan menjadi totalnya 24.

Capek? Coba lihat diagramnya:

Bagaimana kalau ada lebih banyak tim yang bertanding? Katakanlah 141 tim bertarung dengan sistem gugur, berapa jumlah total pertandingannya?

Ternyata ada solusi yang lebih mudah…
Seringkali kita terjebak pada cara berpikir yang terlalu “alami”, tidak berani melakukan terobosan. Cobalah sekarang fokus pada jumlah “pecundang” (peserta yang kalah). Kita balik bertanya:

Berapa jumlah pecundang dalam sebuah turnamen sistem gugur dengan 25 peserta sehingga ditemukan 1 juara?

Jawabnya sederhana: ada 24 tim pecundang, dan ternyata sebanyak itu pula jumlah total pertandingan yang harus dilakukan dalam turnamen tersebut. Dengan demikian, kita sekarang tidak perlu repot berpikir lama-lama lagi ketika ditanya berapa jumlah total pertandingan jika ada 141 peserta. Jawabnya adalah 140 pertandingan, karena akan ada 140 pecundang (alias 140 kekalahan) dalam turnamen tersebut.

Buat orang-orang yang menjawab soal ini dengan cara yang pertama (diagramatik) mungkin akan bertanya pada dirinya sendiri,

Mengapa saya tidak memikirkan cara pandang yang berbeda itu sejak awal?