102 FM ITB » Fisika Nonlinear

Soliton Pusaran Air

Eko Widiatmoko — Wed, 09 Jul 2008 15:44:50 +0000

[oleh: Eko Widiatmoko dan AhmadRidwan T. Nugraha, telaah ulang dari edisi tahun lalu]

Soliton merupakan sebuah gelombang soliter [lewat aja kalo gak pingin mabok :-&], arti harfiahnya adalah gelombang sendirian, yang bergerak tanpa mengalami perubahan bentuk. Ini tentu berbeda dengan (misalnya) solusi gelombang biasa yang linear, y = A sin(?t-kx). Solusi gelombang biasa ini menghasilkan gelombang yang membentang dari x minus tak-hingga sampai plus tak-hingga, dan ada sepanjang waktu. Selain itu beberapa jenis gelombang lain biasanya bersifat dispersif. Artinya, gelombang dengan frekuensi berbeda akan merambat dengan kecepatan berbeda pula (perhatikan prisma dan pelangi!).

Di lain pihak, soliton sebagai suatu pulsa yang memiliki berbagai komponen frekuensi, dapat merambat tanpa perubahan bentuk. Hal ini hanya dapat terjadi jika solusi gelombangnya nonlinear dan seimbang dengan efek dispersi. Wow…
Soliton yang umum ditemukan adalah solusi dari persamaan KdV (Korteweg-deVries), sebuah obat pusing yang mujarab 8-}(maksudnya, obat pembuat pusing). =))

Pada tahun 1986 ditemukan suatu fenomena menarik di kolam renang. Ketika seorang fisikawan naik tangga keluar dari kolam renang dan duduk di kursi, ia melihat beberapa pasang lingkaran hitam di dasar kolam. Objek-objek ini bertahan bermenit-menit (!) dalam air tenang. Ketika sang fisikawan mencoba melihat lebih dekat dengan cara mencebur ke kolam, semua objek itu lenyap.:-??

Belakangan, tahun 2004, fisikawan yang sama menulis karya ilmiah tentang ini. Dikatakannya, (eh, ditulisnya) objek-objek itu adalah soliton dalam wujud lain. Jika soliton gelombang air berupa perbedaan ketinggian air seperti halnya ombak lautan, soliton yang ini berupa gangguan dalam topologi, yaitu bentuk dari ruang itu sendiri.

Soliton tersebut, yang disebutnya falaco soliton, ternyata mudah dibuat. Siapkan:

satu plat lingkaran, diameter 30 cm
sebuah gayung atau ember
satu kolam renang yang airnya tenang (bak mandi pun jadi, tapi mesti agak lebar, air cukup dalam)

Tinjau kolam renang, celupkan plat dengan arah tegak sehingga setengah lingkarannya berada di dalam air. Pelan-pelan, gerakkan plat mendorong air (ke arah tegak lurus bidang plat) sejauh beberapa cm. Angkat plat keluar dari air. Selamat, Anda sudah membuat sebuah soliton. =:)

Iya gitu?
Mana solitonnya? Ada dua kemungkinan: :-b

Tidak terbentuk soliton (Hahaha… cape deh :d ).
Untuk cara lain, tunggu dulu… baca tulisan ini sampe beres…
Gerakan platnya terlalu brutal atau lerlalu halus. Ulangi…
*aje gile… ngerjain aja nih kalian berdua #:-s

Kalau berhasil, perhatikan permukaan air. Timbul sepasang pusaran yang dangkal sekali yang bergerak maju searah dengan gerakan plat tadi. Perhatikan juga dasar kolam. Terlihat sepasang lingkaran hitam yang kelihatannya berhubungan dengan pusaran air di atas. Ini bukan bayangan, karena air hampir transparan. Lingkaran hitam tersebut adalah efek lensa dari pusaran air. Ingat lensa cekung menyebarkan cahaya, alhasil area di bawah lensa cekung itu kekurangan cahaya.

Cara lain, yang sudah dicoba salah satu penulis (Eko W.) dalam bak mandi di rumahnya:

Celupkan gayung atau ember secara tegak seperti akan menggayung air seperti biasa, setengahnya.
Angkat gayung beberapa cm ke atas sehingga air mengalir keluar dari gayung.
Tunggu sampai pusaran terbentuk dan bergerak agak jauh, baru keluarkan gayung dari air perlahan-lahan.

Beberapa sifat menarik dari soliton pusaran air ini:

Sebelum pusaran terbentuk, saat lingkaran hitam belum terbentuk, ada lengan-lengan spiral seperti galaksi menjulur keluar dari kedua pusaran.
Kedua pusaran sebenarnya terhubung oleh suatu garis setengah lingkaran di bawah permukaan air. Kalau tinta diteteskan ke salah satu pusaran, warnanya akan terbawa berpusar sepanjang garis penghubung ini (awas kolam renangnya kena tinta! :d )
Soliton ini sangat stabil. Menurut fisikawan penemunya, pasangan pusaran ini mampu bertahan setengah jam di air tenang. Bandingkan dengan gelombang biasa yang menghilang setelah beberapa detik.

Beberapa eksperimen menarik yang dapat dilakukan seputar soliton pusaran air:

Potong garis penghubung kedua pusaran. Pusaran akan langsung lenyap.
Arahkan gerakan soliton sehingga kedua pusaran akan lewat di kiri-kanan sebuah tiang, misalnya gagang sapu. Ketika dekat tiang, pusaran akan menghilang sesaat. Tunggu beberapa saat, pusaran terbentuk lagi seakan-akan menembus ruang.
Tabrakkan dua pasang pusaran dari arah berlawanan. Apa yang akan terjadi?
(kita juga ga tau… hahaha… =)) )
Buat soliton lambat lalu buat lagi soliton cepat sehingga menabrak soliton lambat dari belakang. Soliton lambat akan melebar sehingga soliton cepat lewat di antara pusaran lambat. Setelah itu, soliton lambat kembali ke bentuk semula.
Tabrakkan soliton ke dinding kolam. Apa yang akan terjadi?

Falaco soliton ini adalah fenomena topologis. Kalau bertanya ke orang matematik, topologi adalah ilmu yang berhubungan dengan bentuk ruang dan tidak peduli ukurannya. Ini berarti, falaco soliton bisa diskalakan menjadi ukuran berapapun, bahkan sampai ukuran subatomik dan galaksi.

Sekarang, marilah membayangkan yang macam-macam. Cari bentuk-bentuk di alam yang mirip dengan soliton ini. Galaksi spiral, misalnya, bisa saja merupakan pusaran raksasa. Sampai sekarang para ilmuwan belum bisa menjelaskan bentuk galaksi spiral, sampai perlu mengada-adakan faktor-faktor
seperti dark matter untuk menjelaskan kurangnya gravitasi. Jika galaksi merupakan soliton pusaran, maka dapatlah dijelaskan bentuk lengan spiral. Ingat, saat pusaran air terbentuk, sebelum stabil terlihat lengan-lengan spiral. Jika ini benar, berarti galaksi spiral merupakan soliton dalam tahap pembentukan. Jika sudah stabil, menjadi galaksi elips yang tidak mempunyai lengan spiral.

Perhatikan lagi bahwa cekungnya permukaan air di pusat pusaran bisa dianalogikan dengan black hole di pusat galaksi. Menurut Einstein, benda bermassa seperti black hole melengkungkan ruang. Ini mirip seperti pusaran air yang melengkungkan permukaan air, dalam dimensi yang lebih rendah. Soliton galaksi juga berarti haruslah adanya pasangan untuk tiap galaksi. Pasangan ini dihubungkan oleh sebuah cosmic string yang tidak terlihat karena seperti halnya soliton permukaan air (2D) mempunyai garis penghubung 3D, ternyata soliton galaksi (3D) mempunyai cosmic string 4D. Mungkinkah galaksi kita terhubung dengan galaksi Andromeda? Mungkin saja.

Selain itu, falaco soliton juga dapat dihubungkan dengan pasangan elektron pada superkonduktor dan quark. Jika ini benar, dapatlah dijelaskan mengapa quark tidak pernah dapat dipisahkan. Ingat, jika kita memutus garis penghubung pusaran, soliton langsung lenyap.

» BONUS: MEMBUAT CINCIN ASAP

Falaco soliton terikat pada permukaan air seperti halnya kita terikat pada ruang 3D. Tinjau bentuk lain yang mirip dengan ini: cincin asap. Cincin asap juga merupakan pusaran yang sumbunya melingkar. Pusaran ini tidak terikat pada permukaan 2D seperti halnya graviton dengan spinnya yang bernilai 2 tidak terikat pada ruang 3D kita. Anggap saja cincin asap adalah simulasi graviton, partikel gravitasi, yang stringnya berbentuk lingkaran.

Cara Pembuatan:

Siapkan kaleng diameter 20 cm tinggi 30 cm, lubangi dasarnya diameter 2 cm di
tengah.
Lepas tutup kaleng, tutup dengan karton duplek.
Isi kaleng dengan asap (obat nyamuk, rokok, bakaran kertas dll). Posisikan kaleng mendatar.
Tepuk sisi karton pelan-pelan dengan jari.
Amati cincin asap yang terbang keluar dari lubang.

Selamat bergila ria, dengan fisika tentunya… :-j

Rujukan Utama: R. M. Kiehn, Falaco Solitons: Cosmic Strings in a Swimming Pool, Physics Department, University of Houston, 2004.

Note: Dilarang komentar yang aneh-aneh! Terhitung awal Juli kemarin, dua orang pembuat tulisan ini baru saja selesai menjalani hari-hari beratnya sebagai mahasiswa undergraduate :p, ingin istirahat dulu. |-)

Saya Ingin Komputer Belajar

Fran Kurnia — Sat, 10 May 2008 18:53:30 +0000

[oleh: Fran Kurnia, Staf Kominfo 102FM]

“Saya ingin komputer belajar”, sekilas judul ini menyiratkan keambiguan bagi para pembaca. Akan tetapi, judul tersebut dapat mewakili secara menyeluruh untuk apa yang akan dibahas dalam artikel ini. Sebagaimana otak manusia bekerja untuk memproses informasi ketika seorang anak mulai berkembang, maka hal yang demikian dapat diaplikasikan pula dalam sebuah program komputer dengan menggunakan jaringan saraf tiruan (atau artificial neural network).

» TINJAUAN BIOLOGIS OTAK MANUSIA

Sejak era manusia modern (Homo Sapiens), otak manusia memiliki struktur atau jaringan yang mempunya tingkat kompleksitas luar biasa. Otak (manusia) tersusun atas saraf-saraf pengelola informasi dari sensor motorik yang disebut neuron dan masing-masing neuron tadi dihubungkan satu sama lainnya oleh sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls atau sinyal yang diterimanya, kemudian meneruskannya ke neuron yang lain. Hingga saat ini diperkirakan otak manusia memiliki 10¹² neuron dan 6.10¹⁸ sinapsis [J.J. Siang; 2005]. Dengan jumlah neuron sebanyak itu dapat dibayangkan apa yang sanggup dikelola oleh otak seorang manusia, seperti mengenali pola, melakukan perhitungan, dan mengontrol organ-organ tubuh dengan kecepatan yang jauh lebih tinggi dibandingkan komputer digital.

Kemampuan otak manusia telah terjalin saat janin seorang ibu mulai terbentuk. Otak ini kemudian akan berkembang sesuai dengan pola-pola yang diterima dari pengalamannya. Jumlah dan kemampuan neuron berkembang seiring dengan pertambahan umur manusia. Pada usia 0 s.d. 2 tahun merupakan rentang terpenting pembentukan pola otak manusia karena pada rentang tersebut terbentuk 1 juta sinapsis per detiknya.

[gambar dari Insight Magazine]

Pada dasarnya neuron memiliki 3 komponen penting, yatu dendrit, soma, dan akson [Suharti; 1990]. Bagian-bagian ini memiliki kemampuannya masing-masing dalam membentuk saraf manusia. Dendrit berfungsi untuk menerima sinyal dari neuron lain. Sinyal tersebut berupa impuls listrik yang didistribusikan melalui celah sinaptik melalui proses kimiawi. Pada celah sinaptik ini sinyal dapat dimodifikasi (diperkuat atau diperlemah). Berikutnya, soma berfungsi untuk menjumlahkan semua sinyal yang masuk. Jika hasil jumlahan itu telah cukup kuat, atau dengan kata lain telah melewati batas ambang (threshold), maka sinyal akan diteruskan menuju sel lain yang disebut akson. Dalam hal ini perlu digarisbawahi bahwa frekuensi penerusan sinyal berbeda-beda antara satu sel dengan yang lain.

Di sisi lain, neuron biologi merupakan suatu contoh sistem yang fault tolerant (dapat memaklumi kesalahan) dalam 2 hal. Yang pertama, manusia tentunya dapat pula mengenali sinyal masukan yang agak berbeda dengan yang pernah diterima sebelumnya. Sebagai contoh, kita dapat mengenali teman kita yang telah berpisah selama waktu tertentu meskipun wajahnya telah berubah dari ketika pertama bertemu. Kedua, otak manusia tetap mampu bekerja meskipun beberapa neuronnya tidak optimal lagi mengerahkan segala kemampuan. Dengan kata lain, jika sebuah neuron rusak, maka neuron yang lain kadang-kadang dapat dilatih untuk menggantikan fungsi sel yang rusak tersebut.

» SEJARAH JARINGAN SARAF TIRUAN

Setelah mengetahui sekilas sisi biologis otak manusia, maka sekarang kita akan mencoba menelaah analogi terkopel antara cara kerja otak manusia dengan cara kerja jaringan saraf tiruan.
Jaringan saraf tiruan diperkenalkan secara sederhana pada tahun 1943 oleh McCulloch dan Pitts [Fausett; 1994]. Pada saat itu McCulloch dan Pitts melalui beberapa komputasi menggunakan neuron-neuron sederhana dapat mengubahnya menjadi sebuah sistem baru (disebut sistem neural) yang mempunya kemampuan komputasi yang lebih baik. Selain itu McCulloch dan Pitts juga mengusulkan pemberian bobot dalam jaringan yang dapat diatur untuk melakukan fungsi logika sederhana. Beliau-beliau ini menggunakan semacam fungsi aktivasi threshold.

Pada tahun 1958, Rosenblatt beserta Minsky dan Papert mulai mengembangkan model jaringan yang disebut dengan perceptron. Dalam model ini mereka mencoba untuk mengoptimalkan hasil iterasinya. Kemudian pada tahun 1960 Widrow dan Hoff mengembangkan model perceptron ini dengan memperkenalkan aturan pelatihan jaringan yang disebut aturan delta (sering juga disebut kuadrat rata-rata terkecil). Aturan tersebut akan mengubah bobot perceptron apabila keluaran yang dihasilkan tidak lagi sesuai dengan target yang telah ditetapkan. Hal inilah yang menyebabkan komputer dapat “belajar” dengan sendirinya; kecepatan belajar dapat diatur dengan menggunakan parameter tertentu.

Perkembangan selanjutnya dibuat oleh Rumelhart (1986) dengan mencoba mengembangkan sistem layar tunggal (single layer) pada perceptron menjadi sistem layar jamak (multilayers), yang kemudian disebut dengan sistem backpropagation. Setelah itu, muncul beberapa model jaringan saraf tiruan lain yang dikembangkan oleh Kohonen (1972), Hopfield (1982), dan lain-lain.

» SISTEM DAN APLIKASI JARINGAN SARAF TIRUAN

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, sistem jaringan saraf tiruan merupakan analogi yang berkaitan erat dengan proses berpiir dalam otak manusia. Sesungguhnya jaringan saraf tiruan merupakan pembentukan generalisasi model matematika dengan menggunakan beberapa asumsi, diantaranya:

Sistem proses informasi terjadi pada banyak elemen sederhana (neuron).
Sinyal yang dikirimkan di antara neuron-neuron melalui penghubung-penghubung (sinapsis).
Penghubung antarneuron memiliki bobot yang akan memperkuat atau memperlemah sinyal.
Untuk menentukan output (target), setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi (biasanya bukan merupakan fungsi linear) yang dikenakan pada jumlahan input yang diterima. Besarnya output akan dibandingkan (learning process) dengan suatu batas ambang (threshold).

Dengan demikian, dari asumsi-asumsi tersebut jaringan saraf tiruan ditentukan oleh 3 hal yang paling mendasar:

pola hubungan antarneuron (arsitektur jaringan),
metode untuk menentukan bobot penghubung (learning atau training method), dan
fungsi aktivasi.

Sebagai contoh, perhatikan sistem yang terdapat pada gambar berikut.

Y menerima input dari neuron x₁, x₂, dan x₃ dengan bobot hubungan masing-masing adalah w₁, w₂, w₃. Kemudian ketiga impuls neuron yang ada dijumlahkan (fungsinya disebut net) sebagai berikut:

dan besarnya impulas yang diterima oleh Y mengikuti fungsi aktivasi

Apabila nilai fungsi aktivasi cukup kuat, maka sinyal akan diteruskan. Selain itu, nilai fungi aktivasi (keluaran model jaringan) juga dapat dipakai sebagai dasar untuk mengubah besarnya bobot, sehingga keluaran yang diperoleh sesuai dengan target yang diharapkan.

Hingga saat ini jaringan saraf tiruan telah memiliki beberapa aplikasi yang banyak digunakan dalam kehidupan manusia. Aplikasi yang sering digunakan antara lain:

Pengenalan pola (pattern recognition)
Jaringan saraf tiruan dapat dipakai untuk mengenali beberapa pola seperti huruf, angka, suara, bahkan tanda tangan. Hal ini sangat mirip dengan otak manusia yang mampu mengenali seseorang, tentu saja yang pernah berkenalan dengan kita.
Pengolahan sinyal (signal processing)
Jaringan saraf tiruan (terutama model ADALINE (adaptive linear newton)) dapat digunakan untuk menekan derau (noise) dalam saluran telepon.
Peramalan (forecasting)
Jaringan saraf tiruan juga dapat dipakai untuk meramalkan apa yang terjadi di masa depan berdasarkan pola yang terbentuk di masa lampau. Hal ini dapat dilakukan karena kemampuan jaringan saraf tiruan untuk mengingat dan membuat generalisasi dari apa yang sudah ada sebelumnya.

Selain aplikasi-aplikasi yang telah disebutkan, jaringan saraf tiruan juga memiliki banyak aplikasi yang menjanjikan seperti dalam bidang kontrol, kedokteran, dan lain-lain. Akan tetapi hal yang perlu diingat adalah jaringan saraf tiruan juga memiliki beberapa keterbatasan. Pertama adalah ketidakakuratan hasil yang diperolah karena jaringan saraf tiruan bekerja berdasarkan pola yang terbentuk pada input yang diberikan. Jadi pada dasarnya jaringan saraf tiruan merupakan ilmu komputasi yang disebut soft computing dengan menggunakan otak manusia sebagai analoginya.

Referensi:

J.J. Siang. ‘Jaringan Saraf Tiruan dan Pemrogramannya dengan MATLAB’. 2005. Jakarta: Andi offset.
Suharti, dkk. ‘Biologi untuk SMP kelas 1′. 1990. Jakarta: Galaxy Puspa Mega.
M. Fausett, dkk. ‘Neural Network and Its Application‘. 1994. New York: Hall and Chapmann.

Kesederhanaan Chaos

A. R. T. Nugraha — Thu, 08 May 2008 11:52:01 +0000

[oleh: AhmadRidwan T. Nugraha, Tim Admin 102FM]

Dalam bidang sains, chaos adalah bahasa teknis dari sebuah fenomena sistem nonlinear yang kelakuannya sangat bergantung secara sensitif pada kondisi awalnya. Penggunaan kata chaos di sini tentu berbeda dengan penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari yang sering diartikan sebagai “kekacauan yang menjadi-jadi”. Perbedaan konteks ini mirip seperti penggunaan kata “usaha” yang maknanya tidak sama dalam fisika dan bahasa.

[gambar dari aburn.org.uk]

Chaos telah diteliti oleh Henri Poincaré pada akhir abad ke-19 dan dilanjutkan oleh sejumlah matematikawan. Maraknya pembahasan tentang chaos akhir-akhir ini dimulai pada penghujung tahun 1970-an, yaitu ketika Mitchell Feigenbaum menemukan sifat umum dari beberapa pemetaan sederhana, yang didahului oleh pekerjaan Edward Lorenz terkait perkiraan cuaca. Tidak semua sistem nonlinear bersifat chaos, tetapi chaos terjadi pada banyak sekali kasus riil maupun matematis, seperti pada tetesan air dari kran, rangkaian elektronik, konveksi termal pada cairan, reaksi kimia, detak jantung, dan masih banyak lagi.

Tanda dari suatu chaos dalam sebuah sistem disipatif adalah keberadaan suatu atraktor/penarik asing (strange attractor) dalam ruang fase, yang merupakan sebuah fraktal. Berkebalikan dengan itu, atraktor biasa (ordinary attractor) yang muncul dalam sistem tanpa chaos memiliki struktur sederhana dan dimensi yang integral. Akan tetapi fraktal dan chaos sebenarnya saling berkaitan, walaupun belum sepenuhnya dipahami.

Ada dua temuan penting dari sistem chaos.

Dalam pengaruh chaos, kelakuan sebuah sistem deterministik akan tampak acak. Fakta ini memaksa setiap eksperimentalis agar memeriksa ulang data mereka untuk menentukan apakah suatu kelakuan acak berkaitan dengan derau (noise) dari data atau justru sistem deterministik yang bisa diprediksi.
Sistem-sistem nonlinear dengan hanya sedikit derajat kebebasan juga bisa bersifat chaos dan tampak sangat kompleks. Namun fakta ini memberikan harapan bahwa kelakuan kompleks yang teramati dalam banyak sistem riil dapat memiliki sebuah titik asal yang sederhana dan bahkan mungkin terlihat dengan jelas.

Meskipun kebanyakan chaos tampak sebagai suatu bentuk osilasi nonlinear yang seolah tidak aturannya, tetapi banyak pula sistem chaos yang ternyata dapat dirumuskan sebagai suatu pemetaan sederhana dari nilai deret mula-mula ke deret selanjutnya. Untuk kasus satu dimensi, kita dapat nyatakan

dengan nilai variabel x_n dibatasi pada interval [0,1].

Pemetaan tertentu sesuai persamaan tersebut akan menghasilkan bentuk chaos pada grafik {x_n} terhadap n. Ada 3 contoh pemetaan sederhana yang akan diberikan di sini yang dapat menghasilkan pola chaos, yaitu

pemetaan logistik (logistic map)
pemetaan tenda (tent map)
transformasi biner (Bernoulli shift)

Kita lalu bisa memplot x_n terhadap n setelah menghitung nilainya untuk masing-masing pemetaan. Cara yang cukup praktis untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan fasilitas spreadsheets seperti Excel atau OpenOffice Calc.
Supaya agak keren , di sini kami berikan program dalam bahasa C.
Silakan download

Hasil dari program tersebut ditampilkan pada gambar berikut dengan nilai awal x₀ = 0,33. Berturut-turut adalah pemetaan logistik, pemetaan tenda, dan transformasi biner.

Menyenangkan, bukan?