Berapa laju rata-rata perjalanan PP tersebut?

Dengan sangat percaya diri, mungkin kita langsung menjawab, (15 + 30)/2 = 22,5 km/jam.
Benarkah jawaban tersebut?

Mari kita telaah lagi…
Percayalah pada kami, jawaban itu salah! Banyak di antara kita yang menjawab demikian karena menganggap tiap komponen laju memiliki “bobot” yang sama terhadap laju rata-rata. Perlu disadari bahwa tidak selamanya komponen penyusun nilai rata-rata semuanya memiliki bobot yang sama. Seperti pertanyaan laju rata-rata ini, dua laju yang berbeda menghasilkan waktu tempuh yang berbeda pula. Laju 30 km/jam memiliki waktu tempuh yang lebih singkat dibanding 15 km/jam (untuk jarak yang sama: gedung fisika vs rektorat). Jawaban yang tepat untuk pertanyaan laju rata-rata ini adalah memandang nilai 15 km/jam memiliki bobot 2 kali lebih besar daripada laju 30 km/jam karena waktu tempuh perjalanannya yang dua kali lebih lama. Dengan demikian, laju rata-rata yang benar adalah:

Kalau kita tidak begitu yakin jawabannya begitu, cobalah tinjau contoh lain yang lebih “merakyat”. Misalkan ada seorang siswa yang mengikuti sepuluh ujian fisika dalam satu semester. Sembilan dari tes yang diikutinya bernilai 100, sedangkan satu tes sisanya bernilai 50. Apakah adil jika nilai rata-rata siswa tersebut adalah (100+50)/2 = 75?
Tentu tidak!

Perhitungan nilai rata-rata yang adil untuk siswa itu adalah dengan terlebih dahulu mengalikan setiap nilai terhadap “bobot”nya masing-masing, yaitu seberapa banyak nilai tersebut diperoleh. Jadi, nilai rata-rata sang siswa adalah

Sekarang kita kembali ke persoalan laju rata-rata. Seorang yang memiliki rasa penasaran tinggi mungkin akan bertanya,

Bagaimana jika salah satu laju itu bukan kelipatan dari yang lainnya?

Sebenarnya mudah saja kalau mau dikembalikan pada definisi laju rata-rata, yakni total jarak per total waktu. Artinya kita cari dulu waktu untuk masing-masing laju, gunakan jarak gedung fisika-rektorat, lalu dibagi dengan waktu totalnya. Mungkin yang jadi masalah adalah kita malas mengukur jarak maupun waktu tempuh tersebut, pokoknya data yang kita punya hanyalah data laju (atau data nilai apapun dalam satu kelompok besaran fisika yang sama).

Ada cara yang lebih efisien untuk menghitung laju rata-rata tersebut. Di sini kita akan menggunakan konsep rata-rata harmonik, yaitu rata-rata dari barisan harmonik. Istilah “harmonik” boleh dianggap berasal dari pola bilangannya: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, dst, dan jika membuat sebuah gitar dengan panjang relatif satu senar dengan senar lainnya seperti itu, maka akan muncul alunan melodi indah nan harmonis. (cuih, ingin muntah, najis deh bahasanya!)

Ok, kita kembali ke laptop. Kesalahpahaman terhadap konsep nilai rata-rata biasanya menyebabkan kebingungan yang amat sangat. Untuk menghindarinya, sekali kita tahu bahwa kita lagi ingin menghitung laju rata-rata (dengan cara rata-rata harmonik), maka kita akan punya rumusan yang sangat menyenangkan dalam perhitungan rata-rata harmonik untuk laju-laju dengan jarak yang sama. Pada soal yang kita bahas di awal, jarak yang ditempuh dengan masing-masing laju adalah sama, yaitu jarak gedung fisika-rektorat.

Jadi apa rumusnya? Coba turunkan sendiri ya Di sini kita berikan langsung hasilnya.
Untuk dua laju a dan b, rumus nilai rata-ratanya adalah

Untuk tiga laju a, b, c,

Untuk empat laju a, b, c, d,

dan seterusnya… polanya sangat jelas.

Terapkan rumusan ini pada soal awal yang kita berikan:

Supaya lebih mantap, kita coba soal lain yang lebih susah,

Suatu hari, sebuah angkutan kota (angkot) melakukan perjalanan PP dari Antapani ke Ciroyom lalu balik lagi Ciroyom ke Antapani dengan laju rata-rata 300 km/jam (gila!). Esok harinya, ada angin yang berhembus dengan laju 50 km/jam dari Antapani ke Ciroyom. Anggap bahwa setting-an supir angkot itu tetap sama, bagaimanakah laju rata-rata untuk perjalanannya hari tsb? Apakah lebih cepat? Lebih lambat? Atau sama saja?

Dengan pikiran selintas tanpa menggunakan rumus rata-rata harmonik, kita mungkin berpikir sama saja. Asumsinya adalah angkot tersebut mendapat “bantuan” angin pada jalur Antapani ke Ciroyom (jadi lajunya 350 km/jam), sedangkan pada jalur Ciroyom ke Antapani mendapat “hambatan” angin (jadi lajunya 250 km/jam). Dengan pola pikir yang keliru seperti di awal tulisan ini, didapatkanlah laju rata-ratanya (350 + 250)/2 = 300 km/jam, sama saja…

Tapi coba terapkan rumus rata-rata harmonik,

ternyata lebih lambat! Dan inilah hasil yang benar…
Pasti bingung :d

Andaikan bulan…
Andaikan bintang…
…
tentu dia (Bumi) kan tahu yang sesungguhnya…

[Petikan lagu Selingkuh dari Kangen Band] :d

Lho? Apakah bulan selingkuh dengan bintang sehingga Bumi datang untuk menghukum bulan?
Sayangnya tidak. :p (Kita gak akan ngomongin mereka kok…)

» Langsung saja…
Dalam artikel ini kita akan membicarakan khayalan (alias imajinasi) berlebihan seputar perang angkasa.
Biasanya dalam film-film fiksi (non)ilmiah, peristiwa perang masa depan di luar angkasa sering digambarkan dalam bentuk pertarungan antar-kapal canggih bersenjatakan laser atau model gelombang elektromagnetik lainnya. Kapal-kapal itu saling menembakkan senjatanya satu sama lain dengan warna yang beraneka ragam. Setiap kali sebuah kapal terkena tembakan dari lawannya akan terdengar suara ledakan yang sangat dahsyat hingga menghunjam kesunyian ruang hampa. Adakah proses fisika yang dapat kita pelajari dari khayalan tersebut?

Ternyata jawabnya tidak ada karena mustahil di luar angkasa yang bersifat hampa dapat terlihat lintasan gelombang elektromagnetik (misalnya laser) dan juga mustahil bisa terdengar suara ledakan yang dahsyat.

Berikut penjelasan yang sangat sederhana:

» Alasan Pertama
• Telah disebutkan bahwa daerah di luar angkasa bersifat vakum. Tidak ada medium apapun yang bisa dimanfaatkan untuk merambatkan bunyi sebagai gelombang mekanik. Dengan demikian, suara ledakan yang terdengar sangat keras hanyalah khayalan omong kosong belaka yang tidak berdasarkan pada prinsip fisika yang sudah mapan. Ya bolehlah terjadi ledakan sana-sini, tapi suaranya sih tidak terdengar…

» Alasan Kedua
• Gelombang elektromagnetik dalam daerah cahaya tampak dapat dilihat oleh mata bila intensitasnya cukup kuat dan ada cukup partikel yang menghamburkannya. Bayangkanlah sebuah sumber laser ditembakkan pada objek tertentu.
  

  

  Biasanya kita baru bisa melihat berkasnya lagi setelah sinar laser tersebut menabrak objek tertentu. Kita tidak akan melihat jalur (berkas) sinar kecuali di sepanjang lintasannya ada partikel yang menghalangi dan bersifat menghamburkan, misalnya debu.
  

  

  Berdasarkan fakta ini kita katakan tidak mungkin senjata laser yang ditembakkan di luar angkasa bisa dilihat mata karena di sana tidak ada cukup partikel untuk menghamburkan cahaya. Hanya tersedia atom hidrogen sedikit saja per meter kubiknya, sehingga laser sekuat apapun tetap sulit terlihat.

Hmm… ternyata film-film tentang perang angkasa tidak seheboh dan seilmiah apa yang didengungkan…

Deret tak hingga memiliki banyak sekali aplikasi dalam fisika. Sekarang kita akan coba bermain-main dengan deret tak hingga dari segi matematik.
Secara umum, kita dapat klasifikasikan deret tak hingga berdasarkan sifat hasil penjumlahannya menjadi 2 macam, yaitu

• deret konvergen: hasil penjumlahannya cenderung menuju satu nilai yang berhingga,
• deret divergen: hasil penjumlahannya tidak menuju nilai tertentu.

Penjelasan lebih lanjut tentang sifat deret tak hingga ini sudah sering ditemui di buku kalkulus (kuliah tahun pertama) atau pelajaran SMA kelas 3.

Nah, yang ingin kita bahas sekarang adalah tentang paradoks yang sebenarnya bukan paradoks jika kita paham sifat konvergensi deret yang dimaksud.

Langsung saja, misalkan

Akan tetapi, ketika kita melakukan pengelompokan yang berbeda terhadap anggota (bilangan) dalam deret tersebut, hasilnya adalah

Oleh karena S = 1 dan S (yang sama) = 0, maka 1 = 0. Lho? Kok bisa?

Jika kasus tersebut belum cukup membuat Anda menangis, kita coba saja yang lain. (

Misalkan

Sebutlah persamaan ini sebagai pers. A. Di sini jelas sekali bahwa S bernilai positif.
Demikian pula,

bernilai positif, dan sebutlah persamaan ini sebagai pers. B.
Sekarang, jika kita kalikan kedua sisi pers. A dengan angka dua, maka kita peroleh

Sebutlah yang terakhir ini sebagai pers. C.

Perhatikan, ruas kanan pers. B ternyata sama dengan pers. C, sehingga

dan kesimpulannya S = -1.

Sepintas wajar (dan cerdas) bahwa kita bisa memecahkan hasil penjumlahan untuk S yang menurut perhitungan terakhir hasilnya adalah -1. Tapi justru di sini masalahnya. Ingat lagi kita sebelumnya sudah memastikan bahwa S itu harus positif, anehnya kita malah mendapatkan hasil yang negatif.

Tanya kenapa?
Ada yang bisa jawab? (gak ada hadiahnya lho :d )

Physics is becoming so unbelievably complex that it is taking longer and longer to train a physicist.
It is taking so long, in fact, to train a physicist to the place where he understands the nature of physical problems that he is already too old to solve them.

[Eugene Wigner]
Note: Eugene Wigner adalah fisikawan Amerika-Hungaria peraih nobel tahun 1963.

When I talk about the pain and hardship of a scientist’s life, I’m speaking of more than existential angst. Galileo’s work was condemned by the Church; Madame Curie paid with her life, a victim of leukemia wrought by radiation poisoning. Too many of us develop cataracts. None of us get enough sleep. Most of what we know about the universe we know thanks to a lot of guys (and ladies) who stayed up late at night.

[Leon Lederman, dalam "The God Particle"]
Note: Leon Lederman adalah nobelis fisika 1988, pernah jadi direktur Fermilab.

Tulisan terkait: Fisika tanpa Rumus?

Lalat? AADL? Ada Apa dengan Lalat?
Tenang… Di sini kami menggunakan lalat hanya sebagai sebuah model. Apa yang ingin dibahas sebenarnya adalah lagi-lagi tentang salah satu teknik pemecahan masalah fisika yang baik dan benar (cepat dan selamat). Kami harapkan dengan pemberian beberapa “solusi yang mengejutkan” akan bisa memotivasi kita semua untuk belajar fisika lebih baik lagi.

Beberapa masalah fisika ternyata tidak selalu membutuhkan pengerjaan dengan tangan (corat-coret kertas). Banyak diantaranya yang memiliki beragam solusi, termasuk yang lebih cepat meski hanya sekedar nalar di luar kepala (eh, dalam kepala). Tentu pengalaman dan latihan yang cukup akan membuat kita mampu mengenali soal-soal bagaimana yang dapat dipecahkan langsung tanpa perlu hitung corat-coret dulu di kertas, seperti yang akan dibahas kali ini.

Ceritanya, ada dua buah kereta jalur Bandung-Surabaya, yang jarak kedua kota itu adalah 800 km. Satu kereta memulai perjalanan dari Bandung, satunya lagi dari Surabaya. Kedua kereta bergerak pada jalur yang sama, sehingga pada suatu saat keduanya tentu bisa tabrakan. Kereta S (dari Surabaya) bergerak dengan kecepatan konstan 60 km/jam, sedangkan kereta B (dari Bandung) bergerak dengan kecepatan 40 km/jam.

Pada waktu yang sama, seekor lalat memulai perjalanan dari posisi salah satu kereta (terserah yang manapun) dengan kecepatan 80 km/jam ke arah kereta satunya lagi. Oleh karena laju terbang si Lalat itu lebih cepat dari kedua kereta, tentu suatu saat si Lalat bisa lebih dulu menyentuh kereta yang lain. Nah, setiap kali lalat itu menyentuh salah satu kereta, ia akan bergerak ke arah yang berlawanan menuju kereta satunya lagi (dengan laju dipertahankan 80 km/jam), dan begitu seterusnya hingga kedua kereta tabrakan dan si Lalat mati kegencet.

Pertanyaannya: Berapa km jarak yang ditempuh si Lalat sebelum kematiannya?

Secara alami, biasanya kebanyakan dari kita akan mulai menggambar keadaan sesuai soal tersebut. Apa yang dicari adalah jarak masing-masing lintasan yang ditempuh si Lalat sepanjang perjalanan “bolak-balik”nya. Lintasan yang ditempuh lalat makin lama makin pendek seiring gerak bolak-baliknya dari kereta satu ke kereta lain yang juga bergerak satu sama lain. Hubungan sederhana langsung terpikirkan, “kecepatan kali waktu sama dengan jarak lintasan yang ditempuh”. “Oh, tapi kok banyak sekali lintasan yang harus dihitung satu-satu?”
Gawat kalau begini, bisa frustasi harus hitung pake limit segala (karena jumlah lintasan bolak-balik lalat akan ada cukup banyak)…

Hmm… pasti ada cara lain. Kita coba sekarang gunakan analogi yang lebih sederhana (gunakan sudut pandang yang berbeda). Apa yang ingin kita temukan adalah jarak yang ditempuh lalat. Rumusnya sederhana, seperti yang tadi sudah terpikir; tapi sekarang kita harus tahu dulu waktu perjalanan si Lalat hingga menemui ajal. Jika kita bisa hitung waktunya (waktu tempuh total), maka jarak total langsung bisa dihitung karena kita sudah tahu kecepatannya (yang konstan itu, 80 km/jam):
jarak = (kecepatan) . (waktu)

Waktu tempuh si Lalat dapat dihitung dengan mudah karena ia bergerak selama kedua kereta juga bergerak sampai tabrakan. Ini artinya kita hitung saja waktu hingga terjadinya tabrakan! It’s so simple! Untuk menentukan waktu t (hingga tabrakan), kita buat persamaan berikut: Jarak tempuh kereta S adalah 60t dan jarak tempuh kereta B adalah 40t. Total jarak tempuh keduanya adalah jarak Bandung-Surabaya, 800 km, alias 60t + 40t = 800, sehingga t = 8 jam!

Waktu 8 jam itu pula yang dialami si Lalat hingga dia mati kegencet. Berarti, total jarak yang ditempuh Lalat adalah:
jarak = (80 km/jam) . (8 jam) = 640 km.

Ha…ha… :d
garing, ya?

Dalam bidang sains, chaos adalah bahasa teknis dari sebuah fenomena sistem nonlinear yang kelakuannya sangat bergantung secara sensitif pada kondisi awalnya. Penggunaan kata chaos di sini tentu berbeda dengan penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari yang sering diartikan sebagai “kekacauan yang menjadi-jadi”. Perbedaan konteks ini mirip seperti penggunaan kata “usaha” yang maknanya tidak sama dalam fisika dan bahasa.

[gambar dari aburn.org.uk]

Chaos telah diteliti oleh Henri Poincaré pada akhir abad ke-19 dan dilanjutkan oleh sejumlah matematikawan. Maraknya pembahasan tentang chaos akhir-akhir ini dimulai pada penghujung tahun 1970-an, yaitu ketika Mitchell Feigenbaum menemukan sifat umum dari beberapa pemetaan sederhana, yang didahului oleh pekerjaan Edward Lorenz terkait perkiraan cuaca. Tidak semua sistem nonlinear bersifat chaos, tetapi chaos terjadi pada banyak sekali kasus riil maupun matematis, seperti pada tetesan air dari kran, rangkaian elektronik, konveksi termal pada cairan, reaksi kimia, detak jantung, dan masih banyak lagi.

Tanda dari suatu chaos dalam sebuah sistem disipatif adalah keberadaan suatu atraktor/penarik asing (strange attractor) dalam ruang fase, yang merupakan sebuah fraktal. Berkebalikan dengan itu, atraktor biasa (ordinary attractor) yang muncul dalam sistem tanpa chaos memiliki struktur sederhana dan dimensi yang integral. Akan tetapi fraktal dan chaos sebenarnya saling berkaitan, walaupun belum sepenuhnya dipahami.

Ada dua temuan penting dari sistem chaos.

1. Dalam pengaruh chaos, kelakuan sebuah sistem deterministik akan tampak acak. Fakta ini memaksa setiap eksperimentalis agar memeriksa ulang data mereka untuk menentukan apakah suatu kelakuan acak berkaitan dengan derau (noise) dari data atau justru sistem deterministik yang bisa diprediksi.
2. Sistem-sistem nonlinear dengan hanya sedikit derajat kebebasan juga bisa bersifat chaos dan tampak sangat kompleks. Namun fakta ini memberikan harapan bahwa kelakuan kompleks yang teramati dalam banyak sistem riil dapat memiliki sebuah titik asal yang sederhana dan bahkan mungkin terlihat dengan jelas.

Meskipun kebanyakan chaos tampak sebagai suatu bentuk osilasi nonlinear yang seolah tidak aturannya, tetapi banyak pula sistem chaos yang ternyata dapat dirumuskan sebagai suatu pemetaan sederhana dari nilai deret mula-mula ke deret selanjutnya. Untuk kasus satu dimensi, kita dapat nyatakan

dengan nilai variabel x_n dibatasi pada interval [0,1].

Pemetaan tertentu sesuai persamaan tersebut akan menghasilkan bentuk chaos pada grafik {x_n} terhadap n. Ada 3 contoh pemetaan sederhana yang akan diberikan di sini yang dapat menghasilkan pola chaos, yaitu

1. pemetaan logistik (logistic map)
   

   

2. pemetaan tenda (tent map)
   

   

3. transformasi biner (Bernoulli shift)
   

   

Kita lalu bisa memplot x_n terhadap n setelah menghitung nilainya untuk masing-masing pemetaan. Cara yang cukup praktis untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan fasilitas spreadsheets seperti Excel atau OpenOffice Calc.
Supaya agak keren , di sini kami berikan program dalam bahasa C.
Silakan download

Hasil dari program tersebut ditampilkan pada gambar berikut dengan nilai awal x₀ = 0,33. Berturut-turut adalah pemetaan logistik, pemetaan tenda, dan transformasi biner.

Menyenangkan, bukan?

Banyak di antara kita takut fisika karena rumus-rumusnya yang menyilaukan mata. Tidak bisa dipungkiri lagi bahwa fisika memang identik dengan rumus, bahkan rasanya nyaris tidak mungkin membuat fisika tanpa rumus. Akan tetapi, fisika tetaplah mengasyikkan dan menyenangkan, begitu pula dengan matematikanya.

Melalui tulisan ini kami coba memberikan sebuah contoh masalah yang bisa dijawab sekejap saja. Uniknya, masalah ini bisa juga sampai menghabiskan waktu makan siangmu jika tidak bisa mengorganisasikan rumusan matematika dengan baik. Banyak sekali masalah fisis yang memiliki sifat demikian, sehingga kita perlu terus mengasah kemampuan analisis matematis dan memotivasi diri bahwa fisika dan matematika itu saudara kandung yang selalu saling membantu.

Ok, sudah siap? Ini soalnya:

Langkah pertama yang biasa dilakukan kebanyakan orang untuk menjawab soal tersebut adalah dengan mengeluarkan kalkulator lalu menghitung hasilnya, dan SELESAI!

Wah, tentu tidak seru, bukan? Lebih baik jika kita ambil secarik kertas dan segera meraut pensil untuk corat-coret. Ok, kalau begitu kita coba saja. Biasanya cara yang sering dilakukan lebih dulu adalah menyederhanakan bagian dalam kurung, misalnya menjadi:

Melihat hasil ini kita kemudian segera mencoret beberapa bagian penyebut dan pembilang untuk penyederhanaan lebih lanjut, misalnya dua pecahan yang bagian depan dapat ditulis:

Hmm, sepertinya akan beres cepat, coba kita lihat dua pecahan selanjutnya:

Waduh, sepertinya masih kurang data, coba lihat lagi dua pecahan selanjutnya:

Dengan data-data tersebut, kita bisa susun ulang pertanyaan (soal)nya menjadi:

Halah… polanya memang terlihat, tetapi kita bisa menyimpulkan bahwa kita harus menguraikannya sampai beres hingga pecahan terakhir (224/225). Gawat! Dan akan lebih gawat lagi kalau rantai pecahan pada soalnya diperpanjang:

Keburu botak kepala, deh… (

SOLUSI YANG LEBIH BAIK
Satu jalan yang jarang dipikirkan ketika pertama melihat soal tersebut (soal yang awal) adalah dengan terlebih dahulu membuatnya jadi begini:

Lalu uraikan sedikit:

Teruskan sedikittt lagi… :d

Nah kan, jadinya sederhana:

Akhirnya hanya menyisakan dua pecahan:

EPILOG
Demikianlah saudara-saudara, selain masalah yang setitik nila ini masih melimpah ruah masalah-masalah lain yang solusinya sederhana, hanya membutuhkan organisasi rumus yang baik dan benar.
Jika kita tilik beberapa masalah dalam fisika, seringkali kita pun tidak memikirkan bahwa ketika Newton mengatakan

Gaya yang bekerja pada suatu benda sebanding dengan percepatan yang dihasilkan,

kenapa kok ditulis

?

Kenapa, misalnya, tidak ditulis begini saja:

atau

?

Toh massa m cuma konstanta kesebandingan, kan? (Perhatian, kita abaikan dulu masalah satuannya).

Contoh lain, Einstein bilang

Ada kesetaraan antara massa dan energi relativistik,

kenapa kok ditulis

?

Kenapa, tidak begini:

atau

?

Toh laju cahaya c juga konstanta, kan?

Ternyata (dari sudut matematis) alasannya sederhana, yaitu untuk pengorganisasian yang lebih baik bagi rumusan lain yang diturunkan dari hukum-hukum fisika tersebut.

Ada sebuah soal matematika yang sangat sederhana, begitu pula dengan solusinya. Tetapi apa yang kami temukan di antara teman-teman kami sendiri ternyata banyak juga yang menjawabnya dengan sangat rumit.

Coba deh…

Misalkan ada sebuah turnamen sepakbola antarhimpunan mahasiswa dilakukan dengan sistem gugur (sekali kalah langsung tersingkir). Turnamen itu diikuti oleh 25 tim himpunan mahasiswa se-ITB.
Berapa jumlah total pertandingan dalam turnamen tersebut hingga diperoleh satu juara? (tanpa perebutan tempat ketiga dan keempat)

Biasanya, banyak di antara kita memulai pemecahan masalah dengan cara mensimulasikan turnamen tersebut, salah satunya memasang-masangkan setiap tim untuk bertarung. Dalam kasus ini, ada 1 tim yang mendapat bye (tidak perlu bertanding, langsung lolos ke babak selanjutnya), dan ada 24 tim yang harus bertarung, sehingga jumlah pertandingan babak pertama adalah 12 pertandingan. Kemudian di babak kedua ada 13 tim tersisa yang komposisinya adalah 12 tim harus saling tarung (6 pertandingan), dan 1 tim mendapatkan bye. Sampai sini jumlah pertandingannya sudah 18 (= 12 + 6).

Di babak ketiga ada 7 tim tersisa dengan komposisi 6 tim harus saling tarung (3 pertandingan), dan 1 tim mendapatkan bye, sehingga jumlah pertandingan menjadi 21 (= 18 + 3). Sampai sini sudah tersisa 4 tim saja (semifinal), yang kita tahu hanya ada 2 pertandingan, sehingga jumlah pertandingan hingga babak semifinal adalah 23. Terakhir, 1 pertandingan babak final menggenapkan jumlah pertandingan menjadi totalnya 24.

Capek? Coba lihat diagramnya:

Bagaimana kalau ada lebih banyak tim yang bertanding? Katakanlah 141 tim bertarung dengan sistem gugur, berapa jumlah total pertandingannya?

Ternyata ada solusi yang lebih mudah…
Seringkali kita terjebak pada cara berpikir yang terlalu “alami”, tidak berani melakukan terobosan. Cobalah sekarang fokus pada jumlah “pecundang” (peserta yang kalah). Kita balik bertanya:

Berapa jumlah pecundang dalam sebuah turnamen sistem gugur dengan 25 peserta sehingga ditemukan 1 juara?

Jawabnya sederhana: ada 24 tim pecundang, dan ternyata sebanyak itu pula jumlah total pertandingan yang harus dilakukan dalam turnamen tersebut. Dengan demikian, kita sekarang tidak perlu repot berpikir lama-lama lagi ketika ditanya berapa jumlah total pertandingan jika ada 141 peserta. Jawabnya adalah 140 pertandingan, karena akan ada 140 pecundang (alias 140 kekalahan) dalam turnamen tersebut.

Buat orang-orang yang menjawab soal ini dengan cara yang pertama (diagramatik) mungkin akan bertanya pada dirinya sendiri,

Mengapa saya tidak memikirkan cara pandang yang berbeda itu sejak awal?

Saya pernah mengamati di statistik beberapa blog yang pernah saya buat, seperti misalnya blog ini, ada yang nyasar dari pencarian di Google gara-gara kata kunci “fisika tanpa rumus”. Aneh juga, kenapa banyak yang terobsesi ya untuk membuat fisika tanpa rumus? Tapi tak mengapa, sepertinya menarik kalau kita bahas apakah mungkin membuat fisika tanpa rumus.

Apa yang saya pahami selama ini, fisika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang mempelajari berbagai bagian dari alam dan interaksi di dalamnya. Untuk menjelaskan sebab-akibat dari sebuah fenomena alam, para fisikawan berusaha membuat teori yang memadai. Akan tetapi, teori-teori tersebut biasanya dibatasi oleh ruang lingkup tertentu. Misalnya, fenomena listrik dan medan magnet dijelaskan oleh teori elektromagnet, fenomena gerak dijelaskan oleh konsep mekanika, demikian pula fenomena-fenomena lain dijelaskan dengan teori yang lain. Meski ada batasannya, teori-teori itu terus dikembangkan dengan cara digabungkan satu sama lainnya sehingga satu teori dapat menjelaskan berbagai fenomena. Inilah cita-cita besar dari para fisikawan teoretik, yaitu menemukan semacam theory of everything.

Proses panjang ketika mengaitkan satu fenomena dengan fenomena lain, kemudian generalisasinya dalam suatu teori fisika ternyata dapat disederhanakan dengan sebuah bahasa. Apa bahasanya? Jawabnya adalah rumus matematik. Lalu, apakah mungkin membuat fisika tanpa rumus? Dari uraian sebelumnya, saya berpendapat mungkin saja, tapi akan jadi sulit jika fisika tanpa rumus (matematik). Seandainya tidak ada rumus, maka seluruh hukum fisika yang ada akan jadi berbentuk kalimat retoris yang sangat panjang. Tujuan utama dari rumus matematik yang sebenarnya adalah untuk memudahkan pemahaman, menyingkat berbagai kata-kata, dan membuat manusia yang berbeda bahasa agar mengerti maksud fisika. Sebagai contoh: Kalau sudah mengerti maksudnya, orang Sunda, orang Aborigin, maupun orang-orang lainnya di seluruh dunia tentu akan lebih memilih menulis

daripada apa yang dirumuskan aslinya oleh Clausius:

It is impossible for any engine working continuously in a cycle to transfer heat from a colder to a hotter body and to produce no other effect.

Rumus matematik ternyata membuat penulisan jadi lebih sederhana, kompak, juga indah. Dan lebih menyenangkan lagi kalau pada waktu kita menuliskan sebuah rumus matematik, pada saat itu juga seluruh maknanya meresap dalam otak dan hati kita. Wuih…

Nah, buat kita-kita yang masih takut rumus, ya wajar saja kita takut kalau kita tidak mengerti maksud rumus tersebut. Biasanya kita tidak akan takut (jadi menyenangi) suatu rumus kalau kita sudah mengerti. Bidang-bidang yang lain pun tidak akan bisa lepas dari rumus, misalnya elektro, ekonomi, informatika, dan banyak lagi… Yang jadi masalah sebetulnya adalah apakah kita punya niat untuk memahami rumus tersebut? Apakah kita sudah meluangkan cukup waktu untuk mempelajarinya? Atau masih SKS (sistem kebut se…)? (Saya juga sering sih maen sks-an saat mau ujian, ups… jangan ditiru!)

Sudah jelas, bukan? Salut deh kalau ada yang bisa bikin fisika jadi tanpa rumus. Kembali ke pembukaan tulisan ini, saya sempat berpikir dan bertanya-tanya, “Jangan-jangan di Indonesia ini banyak orang yang berharap fisika tanpa rumus?” Hmm… obsesi yang aneh, dugaan saya sih kita ini berkhayal terlalu jauh dengan cerita-cerita fisikawan “nyentrik” macam Feynman, Einstein, dan Hawking. Dalam biografi (yang pernah saya baca) tentang ketiga fisikawan itu memang kerap disebutkan kalau mereka banyak “bermain” dengan percobaan pikiran dan hebatnya masing-masing mereka juga pernah menulis buku ilmiah populer yang “minim” (dan ada yang tanpa) rumus.

Feynman terkenal dengan The Six Not So Easy Pieces, Einstein dengan Relativity: The Special and General Theory, sedangkan Hawking dengan A Brief History of Time. Tapi mungkin kita tidak menyadari bahwa ketiganya sampai pada tahap pemahaman “gak butuh rumus” tuh setelah bekerja keras siang malam menuliskan ulang semua rumusan yang mereka kenal, diulik sampai berkali-kali. Saya sempat sampai menengadahkan tangan (minta ampun) karena tidak mengerti ketika membaca petikan bab 1 (introduction)-nya “Statistical Mechanics” (baru introduction lho!) yang ditulis oleh Feynman:

Saya pun bergumam dalam hati, “Beuh! Di biografinya aja dibilang banyak bermain dengan percobaan pikiran dan pemahaman konsep, tapi kalau dah nulis textbook kuliah mah isinya rumus semua.”

Semoga tulisan ini membuka mata kita bahwa tidak ada satupun keberhasilan sejati tanpa perjuangan dan pengorbanan. Bagi orang-orang yang berkecimpung di bidang fisika, salah satu perjuangan yang cukup berat adalah bagaimana agar dapat memahami berbagai hukum alam yang dibentuk dalam rumus-rumus matematik. Hasil yang manis tentu akan diraih jika kita sungguh-sungguh mengerahkan segenap kemampuan ketika berbuat. Jangan lupa juga, harus selalu tulus ikhlas…

God used beautiful mathematics in creating the world
[Paul Dirac, Nobelis Fisika 1933]

Seorang fisikawan bernama Edwin Hubble telah merintis usaha untuk menghitung jarak beberapa galaksi dengan menggunakan analisis spektrum cahaya yang dipancarkan bintang-bintang dalam galaksi yang sedang diamati. Dia menemukan pola yang unik dari hasil analisisnya. Panjang gelombang dari beberapa bintang yang diamati ternyata tidak konstan, melainkan bergeser menuju panjang gelombang tertentu. Pergeseran panjang gelombang ini disebut sebagai Efek Doppler, meniru fenomena serupa pada gelombang bunyi.

Pengamatan Hubble menunjukkan bahwa spektrum galaksi bergeser ke arah panjang gelombang merah. Menurut efek Doppler, hal ini berarti mereka bergerak menjauhi pengamat. Semakin besar pergeseran merahnya berarti semakin cepat pergerakannya. Pergeseran merah yang semakin besar diperoleh dari pengamatan galaksi-galaksi yang jaraknya jauh. Jika diandaikan sebuah galaksi sebagai sebuah titik di alam semesta dan setiap titik saling menjauhi satu sama lain, maka bisa dikatakan bahwa alam semesta ini mengembang.

Sekarang seandainya galaksi-galaksi saling menjauh, berarti konsekuensi logisnya seharusnya mereka dulu pasti pernah berdekatan. Untuk memperjelas fenomena ini bisa diambil kiasan sebuah roti mentah yang ditaburi kismis di seluruh tubuhnya, jika roti itu sedang mengembang dalam oven, maka setiap kismis di roti itu akan saling menjauh satu sama lain.

» HIPOTESIS BIG BANG

Dengan menghitung mundur pergerakan galaksi-galaksi di alam semesta, maka dahulu galaksi-galaksi tersebut tentulah saling berdekatan, bahkan mungkin menyatu. Dengan demikian tentu saja kerapatan massanya sangat besar. Jika pada awalnya alam semesta merupakan massa tunggal dengan kerapatan yang sangat besar, bagaimanakah bentuk awal alam semesta kita ini?

Pada kondisi tersebut, temperatur dan energi alam semesta saat itu tentunya harus sangat tinggi. Hanya suatu ledakan yang maha dahsyat yang memungkinkan terjadinya keadaan awal alam semesta seperti itu. Hipotesis tentang adanya ledakan mahadahsyat inilah yang disebut sebagai hipotesis Big Bang. Hipotesis ini menjelaskan bahwa alam semesta bermula dari sebuah ledakan dahsyat dan galaksi akan menyebar tanpa batas, serta tidak pernah kembali ke pusat awalnya. Semua persediaan unsur diciptakan dalam setengah jam pertama setelah terjadi ledakan. Maka dari itu sebenarnya tidak ada materi baru yang diciptakan.

Bagaimanakah peristiwa yang terjadi di saat-saat awal alam semesta tercipta? Yang menarik, para ilmuwan masih belum bisa merumuskan dengan pasti bagaimanakah keadaan alam semesta kita pada saat awal tersebut. Sesaat setelah “kelahirannya”, untuk pertama kali partikel-partikel elementer akan terbentuk. Sejalan dengan penyusunan partikel-partikel elementer tersebut energi alam semesta mulai menurun. Oleh sebab itu partikel-partikel utama penyusun zat yang lebih besar, yang tersusun atas partikel-partikel elementer, mulai dimungkinkan untuk terbentuk.

Kemudian setelah terbentuknya partikel-partikel penyusun zat seperti hidrogen dan helium, mulai terbentuklah “benih-benih” pertama galaksi. Melalui proses pendinginan alam semesta, yang berarti juga awal hidup galaksi-galaksi yang pertama, lahirlah generasi pertama bintang. Aktivitas bintang-bintang ini mengakibatkan terus lahirnya bintang generasi berikutnya, termasuk kemudian dihasilkan planet-planet dan objek ruang angkasa lainnya.

» MASA DEPAN ALAM SEMESTA

Bagaimanakah masa depan alam semesta, setelah kelahiran dan kehidupannya sekarang? Pertanyaan ini mungkin diajukan oleh kita, seperti juga para ilmuwan yang bertanya-tanya. Para ilmuwan mengajukan tiga model yang sama menariknya tentang masa depan alam semesta kita ini, yaitu:

1. bahwa alam semesta akan terus mengembang, semua galaksi akan menggunakan energinya untuk terus bergerak, sampai seluruh energinya berubah menjadi energi diam. Akibatnya, alam semesta menjadi ‘diam’ dan ‘mati’, ataukah akan terjadi seperti model kedua?
2. Adakah suatu batas tertentu yang menunjukkan pengembangan alam semesta itu akan berhenti dan berbalik menjadi penyusutan gravitasi? Oleh karena seluruh energi yang digunakan untuk bergerak telah berubah menjadi energi potensial gravitasi, maka galaksi-galaksi mulai saling tarik-menarik dan akhirnya runtuh kembali menuju satu titik. Ataukah,
3. kerapatan alam semesta menjadi sangat kecil, sehingga semua galaksi terus bergerak saling menjauhi menuju tak hingga?

Sampai sekarang belum ada model yang benar-benar tepat untuk menggambarkan masa depan alam semesta. Pertanyaan-pertanyaan kita sekarang tentang suatu hal pada akhirnya memang akan terjawab, tetapi setelah itu akan selalu muncul pertanyaan-pertanyaan baru. Demikianlah yang terjadi jika kita bertanya tentang alam semesta, kita tidak akan pernah puas. Seringkali kita mencapai suatu pertanyaan yang mendasar sekali, yang akhirnya membuat hati kita kagum, heran, takzim, sampai pada suatu perenungan betapa luar biasa Kuasa Tuhan di alam semesta ini.

Sumber Gambar: HubbleSite