[oleh: Zainul Abidin, alumni Fisika ITB]

Masih ingat Teka-Teki Timbangan? Kan belum ada yang bener-bener berhasil jawab dengan betul tuh… Kita bahas aja yuk…

» PERTANYAAN 1

Gaya-gaya apa saja yang terlibat? Tentu ada gaya gravitasi.
Bagaimana dengan gaya oleh otot-otot dan antara bagian-bagian tubuh? Terlalu rumit.
Persoalan menjadi lebih sederhana jika kita memperhatikan gerakan pusat massanya saja. Dengan demikian, cukup gaya-gaya dari luar saja yang diperhitungkan; bukan gaya-gaya antara bagian tubuh yang satu dengan yang lain. Mengapa?

Keluar dari topik pembicaraan
Hukum Newton III mengajarkan bahwa gaya yang bekerja pada i oleh j besarnya sama dengan gaya yang bekerja pada j oleh i dengan arah berlawanan, secara matematis F_ij = -F_ji. Untuk i:

dengan persamaan di ruas kiri adalah percepatan dan massa, dan vektor F_i^ekst adalah gaya luar yang bekerja pada i. Posisi pusat massa:

Diperoleh percepatan pusat massa:

Suku pertama nol karena F_ij = -F_ji, sehingga diperoleh

Sekarang kita paham bahwa hanya gaya-gaya luar yang perlu diperhitungkan. Apa saja gaya-gaya luar itu? Gravitasi Mg arahnya ke bawah dan gaya normal N arahnya ke atas. Menurut prinsip aksi-reaksi, ada juga gaya yang besarnya N yang bekerja pada timbangan dan arahnya ke bawah. Gaya N inilah yang terukur.

Mari kita tinjau berat yang terukur:

• Dalam keadaan diam (berdiri atau jongkok) percepatan pusat massa sama dengan nol.
  

  

  Arah positif ke bawah. Berat yang terukur:

  

• Jika pusat massa dipercepat ke bawah:
  

  dan

  artinya

  

• Jika pusat massanya diperlambat:
  

  dan

  maka

  

Mula-mula posisi berdiri, pusat massa diam. Kemudian pusat massa dipercepat. Sebelum jongkok harus di-”rem” dulu, pusat massa diperlambat. Akhirnya posisi jongkok, pusat massa diam.

Misalnya percepatan dan perlambatannya konstan maka akan diperoleh grafik:

Kenyataannya sulit melakukan percepatan dan perlambatan yang konstan. Jadi jawabannya C. Kalau gaya ngebor Inul sebelum jongkok? Tentu grafiknya lebih rumit.

» PERTANYAAN 2

Teka-teki lain yang berhubungan dengan soal ini dapat dilihat pada referensi 1. Terkait dengan teka-teki tersebut muncul artikel di American Journal of Physics (referensi 2) beberapa puluh tahun yang lalu. Menurut referensi 2, gaya akibat tumbukan pada dasar jam pasir sama dengan berat pasir yang sedang jatuh bebas. Sehingga berat jam pasir yang terukur tidak berubah.

Misalnya n adalah banyaknya pasir yang jatuh bebas per satuan waktu, m adalah massa setiap butir pasir, v adalah kecepatan pasir saat mencapai dasar, dan T adalah waktu yang diperlukan untuk mencapai dasar. Momentum setiap butir pasir sesaat sebelum mencapai dasar adalah mv. Gaya pada dasar jam pasir sama dengan momentum yang hilang per satuan waktu nmv. Karena v = gT, maka nmv=nmgT. Banyaknya pasir dalam keadaan jatuh bebas adalah nT, maka berat pasir yang sedang jatuh bebas juga nmgT. Sehingga berat jam pasir yang terukur tidak berubah.

Bagaimana dengan argumen sebelumnya? Mari kita perhatikan posisi pusat massa. Mula-mula seluruh pasir ada di tandon atas. Pusat massa bergerak dari atas ke bawah, dan tentu saja mengalami percepatan dan perlambatan. Berat yang terukur seharusnya berubah. Jadi apanya yang salah?

Penjelasan yang diberikan pada referensi 2 mengasumsikan bahwa tinggi permukaan pasir di tandon bawah dan atas tidak berubah selama selang waktu T dan kecepatan awal pasir sama dengan nol. Asumsi yang benar jika banyaknya pasir yang jatuh per satuan waktu relatif kecil. Secara kuantitatif:

dengan Δh adalah perubahan tinggi permukaan pasir. Misalnya waktu yang diperlukan untuk memindahkan seluruh pasir dari tandon atas ke bawah adalah 1 jam, maka kecepatan rata-rata pusat massanya sangat kecil, begitu juga dengan percepatan dan perlambatannya, sehingga perubahan berat yang terukur juga sangat kecil.

Masih mau lanjut? Mari kita hitung perubahan berat yang sangat kecil itu. Berbeda dengan zat cair, banyaknya pasir yang jatuh per satuan waktu relatif konstan, tidak bergantung pada tinggi permukaan pasir pada tandon atas (referensi 3). Bentuk jam pasirnya kita ganti menjadi kotak, anggap permukaan pasir di tandon atas dan bawah selalu datar. Anggapan yang tidak realistis, apa boleh buat, demi menyederhanakan perhitungan.

Misalnya posisi lubang berada di z = 0, dengan arah sumbu z positif ke bawah. Mari kita tinjau berbagai pusat massa di dalam jam pasir:

• Massa total pasir:
  

  

• Massa pasir di tandon atas:
  

  

  dengan posisi pusat massa di:

  

• Massa pasir di tandon bawah:
  

  

  dengan posisi pusat massa di:

  

• Massa pasir yang sedang jatuh:
  

  

  dengan posisi pusat massa di:

  

Nilai h akan mempengaruhi nilai:

dan

Karena banyaknya pasir yang jatuh persatuan waktu konstan, maka

dengan v_p adalah kecepatan turunnya permukaan pasir di tandon atas.

Pusat massa sistem berada di

(persamaan 1)

Percepatan pusat massa sistem adalah turunan kedua terhadap waktu

Bagian yang “agak” rumit adalah menghitung turunan kedua terhadap waktu dari suku terakhir di persamaan 1. Melangkahi beberapa detail diperoleh

(persamaan 2)

yang selalu negatif. Pada persamaan ini v₀ adalah kecepatan pasir di lubang, z = 0. Kecepatan turunnya permukaan pasir v_p dapat diketahui dari pengukuran panjang L dan waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pasir di tandon atas. Kecepatan v₀ dapat diketahui dari perbandingan luas lubang terhadap luas penampang tandon atas. Dengan asumsi bahwa kerapatan pasir di tandon atas uniform diperoleh v₀ > v_p . Tentu saja kerapatan (lebih tepatnya massa per satuan tinggi) pasir yang sedang jatuh bebas bergantung pada nilai z,

(persamaan 3)

Persamaan 2 menunjukkan bahwa pusat massa sistem diperlambat. Faktor v_p²/L menunjukkan bahwa percepatan pusat massa sangat kecil. Misalnya waktu untuk memindahkan seluruh pasir ke tandon bawah adalah 1 jam dan L = 10 cm, maka v_p²/L ≈ 10 cm/jam² = 8 x 10^-9 m/s². Efek yang nyaris tidak terdeteksi. Bandingkan dengan percepatan gravitasi 10 m/s².Cuma orang-orang kurang kerjaan duit pas-pasan yang mau menghitung.

Bagaimana dengan percepatan pusat massa saat belum ada pasir di tandon bawah?
Sekali lagi dengan melangkahi beberapa detail diperoleh

(persamaan 4)

yang selalu positif karena v₀ > v_p.

Model yang sangat sederhana ini memberikan gambaran kualitatif apa yang terjadi. Tentu saja model di atas dapat disempurnakan dengan mengganti bentuk tandon atas, dan mengganti bentuk permukaan pasir di tandon atas dan bawah, misalnya menjadi kerucut dsb. Enaknya “berteori” adalah kita dapat membuat asumsi untuk menyederhanakan persoalan. Pada akhirnya eksperimenlah yang menjadi hakim. Jika ternyata prediksi model melenceng dari hasil eksperimen, maka tugas fisikawan teoretik untuk memperbaiki model. Siklus teori-eksperimen inilah yang disebut sebagai metode ilmiah. Orang-orang praktis akan bertanya buat apa repot-repot menghitung berat jam pasir? Jawaban muluk-muluknya yaitu untuk kemajuan bangsa dan negara . Maksudnya ya itu tadi: Kurang kerjaan. Kadang-kadang, keisengan itu ternyata bermanfaat.

» PERTANYAAN 3

Sama seperti pada pertanyaan 1 dan 2, perubahan berat yang terukur bergantung pada percepatan dan perlambatan pusat massa sistem. Pusat massa sistem kira-kira dipercepat ke atas, kemudian diperlambat, kemudian berhenti. Maka berat yang terukur adalah kebalikan dari jawaban soal 1.

Bagaimana jika udara dapat keluar masuk sangkar? Berat burung yang sedang terbang tidak hanya “ditanggung” oleh timbangan, tapi oleh permukaan bumi lainnya. Untuk bisa menjawab berapa persen berat burung yang di tanggung oleh timbangan perlu diketahui detail mengenai gerakan udara oleh kepakan sayapnya.

Referensi:

• [1] Beautiful But Wrong: The Floating Hourglass Puzzle
• [2] W. P. Reid, American Journal of Physics, 35(4), April, 1967.
• [3] A. A. Mills, S. Day, S. Parkes, Eur. J. Phys. 17 (1996) 97-109.

Note:
Jangan tanya pada admin tentang berapa lama beresin penyuntingan tulisan ini.