Paradoks Deret Tak Hingga
[oleh: AhmadRidwan T. Nugraha, Tim Admin 102FM]
Deret tak hingga memiliki banyak sekali aplikasi dalam fisika. Sekarang kita akan coba bermain-main dengan deret tak hingga dari segi matematik.
Secara umum, kita dapat klasifikasikan deret tak hingga berdasarkan sifat hasil penjumlahannya menjadi 2 macam, yaitu
- deret konvergen: hasil penjumlahannya cenderung menuju satu nilai yang berhingga,
- deret divergen: hasil penjumlahannya tidak menuju nilai tertentu.
Penjelasan lebih lanjut tentang sifat deret tak hingga ini sudah sering ditemui di buku kalkulus (kuliah tahun pertama) atau pelajaran SMA kelas 3.
Nah, yang ingin kita bahas sekarang adalah tentang paradoks yang sebenarnya bukan paradoks jika kita paham sifat konvergensi deret yang dimaksud.
Langsung saja, misalkan
Akan tetapi, ketika kita melakukan pengelompokan yang berbeda terhadap anggota (bilangan) dalam deret tersebut, hasilnya adalah
Oleh karena S = 1 dan S (yang sama) = 0, maka 1 = 0. Lho? Kok bisa?
Jika kasus tersebut belum cukup membuat Anda menangis, kita coba saja yang lain. 
Misalkan
Sebutlah persamaan ini sebagai pers. A. Di sini jelas sekali bahwa S bernilai positif.
Demikian pula,
bernilai positif, dan sebutlah persamaan ini sebagai pers. B.
Sekarang, jika kita kalikan kedua sisi pers. A dengan angka dua, maka kita peroleh
Sebutlah yang terakhir ini sebagai pers. C.
Perhatikan, ruas kanan pers. B ternyata sama dengan pers. C, sehingga
dan kesimpulannya S = -1.
Sepintas wajar (dan cerdas) bahwa kita bisa memecahkan hasil penjumlahan untuk S yang menurut perhitungan terakhir hasilnya adalah -1. Tapi justru di sini masalahnya. Ingat lagi kita sebelumnya sudah memastikan bahwa S itu harus positif, anehnya kita malah mendapatkan hasil yang negatif.
Tanya kenapa?
Ada yang bisa jawab? (gak ada hadiahnya lho 
)
Gw ga ngerti yang masalah pertama. Tapi yang kedua kayanya gw ngeh…
Tapi karena udah 3 tahun ga belajar matematika, jawabannya bodo-bodoan aja ya?
Masalahnya perasamaan S - 1 = …, itu kan menghilangkan angka pertama dari penjumlahan; sementara 2S itu menggandakan barisan penjumlahan tersebut. Jadi kita terjebak melihat suku awalnya sama, padahal perbedaan sebenarnya ada di jumlah sukunya secara keseluruhan.
Ditulis dengan#Hariadhi,
nyaris…
Ditulis dengantapi masih belum betul tuh…
Saya mendukung jawaban mas Hariadhi. Deret yang diberikan tersebut adalah deret geometri dengan suku awal a = 1 dan rasio r = 2. Kalau kita kerjakan hingga suku ke-n, jumlah deret tersebut bernilai
sehingga S - 1 = 2[n+1] - 2 dan 2S = 2[n+2] - 2.
Ditulis denganJelas bahwa S - 1 tidak sama dengan 2S.
Masalahnya deret itu bukan deret KONVERGEN, karena nilai tak hingganya itu tak tentu, bisa -1 atau 1, S ini khan fungsi PERIODIK, piye tho?
Ditulis denganHuo… ho… ho…
Ditulis dengansi Anjar dateng2 pake nama Maria Ozawa…
yupz… betul sekali, itu jawaban yang kami inginkan. Kedua deret yang diberikan memang tidak konvergen, alias divergen (penjumlahan tak tentu), artinya nilai S tidak akan pernah bisa diperoleh.
It’s so simple, jadi gak usah dicari S-nya mah…
Mas Admin, cara nulis persamaan di web ini (syntax-nya) gimana sih?
Ditulis dengan#Agus,
Intinya gak bisa pake LaTeX karena server tempat kami numpang tidak memperkenankan penggunaan LaTeX.
Semua persamaan yang ada dalam artikel dibuat dengan menggunakan OpenOffice Draw yg diekspor menjadi format PNG.
Memang jadi lebih repot, dan terutama orang-orang yang mau komentar tidak memiliki kekuasaan untuk membuat persamaan sendiri. Silakan tulis dengan cara seperti yang pernah dilakukan Agus, nanti biar kami sendiri yang menyuntingnya.
Oya, sebenarnya kalau cuma menyertakan “superscript” dan “subscript”, kodenya cukup begini:
dengan “kode” diganti oleh “sup” untuk superscript, “sub” untuk subscript.
Ditulis denganWah, cape juga kalau para komentator nulis banyak persamaan..
Ditulis denganPembahasannya terlalu sedikit dan terlalu cepat untuk dimengerti, mohon ditambah lagi penjelasannya tentang deret geometri tak hingga untuk S genap dan S ganjil
Ditulis dengan#Cortez,
Artikel ini memang tidak ditujukan sebagai suatu rujukan.
Ditulis denganUntuk pembahasan yang lengkap, kami sarankan Anda membaca buku Kalkulus untuk kuliah tahun pertama, seperti yang ditulis oleh Purcell dkk.
Mohon maaf atas segala kekurangan yang ada. Tujuan utama dari penulis di sini memang justru untuk menantang dan menguji pemahaman, bukan untuk “memberi” pemahaman.
Saya masih agak bingung… bisa diperjelas lagi??? Soale saya butuh buat tugas kul… mksh…
Ditulis dengan